Generalizations of Weierstrass representation formula for surfaces in Minkowski space

U radnji poopćavamo Weierstrassovu reprezentacijsku formulu na plohe u prostoru Minkowskog. Weierstrassova parametrizacija je lokalna konformna parametrizacija plohe kojom se svaka minimalna ploha u \(\mathbb{E}^3\) može reprezentirati parom \((f,g)\) kompleksnih funkcija, gdje je \(f\) holomorfna i \(g\) meromorfna funkcija. U prvom dijelu uvodimo osnovne pojmove i rezultate o plohama u prostoru Minkowskog s posebnim naglaskom na svjetlosne plohe i dualne funkcije, koje ćemo koristiti kao alat za reprezentaciju svjetlosnih ploha. Analiziramo parametrizacije za prostorne i vremenske plohe u \(\mathbb{M}^3\) koje su već pronađene te za formulu McNertney pokazujemo da reprezentira sve regularne prostorne plohe ako koristimo funkcije \(f\) i \(g\) koje nisu nužno holomorfne. Pronalazimo Weierstrassovu parametrizaciju za svjetlosne plohe pomoću para \((f,g)\) dualnih funkcija, gdje je \(f\) holomorfna i \(g\) meromorfna funkcija. Sve svjetlosne plohe u \(\mathbb{M}^3\) su minimalne. Koristeći vezu s dualnim brojevima, pronalazimo svjetlosni analogon katenoida i helikoida te općenito asociranu familiju i adjungiranu plohu svjetlosne plohe. Pokazujemo 1-1 korespondenciju izmedu konformnih parametrizacija maksimalne/minimalne plohe i konformnih parametrizacija jedinične sfere. U drugom dijelu sve Weierstrassove parametrizacije poopćavamo na 2-plohe u \(\mathbb{M}^4\) analogno kao u euklidskom prostoru. Za prostorne plohe je to već napravljeno ranije pomoću kompleksnih funkcija, za vremenske plohe koristimo kompleksne funkcije \((q,r)\) dviju dualnih varijabli i realne funkcije \((f,g)\), a za svjetlosne plohe koristimo dualne funkcije \((\rho, f,g)\). Za svaku reprezentaciju pronalazimo klasu funkcija koje reprezentiraju maksimalne/minimalne plohe. Parametrizaciju za prostorne plohe poopćavamo na 2-plohe u \(\mathbb{M}^n\). U teoriji relativnosti pronalazimo lokalnu parametrizaciju tzv. zarobljenih ploha u Schwarzschildovom prostoru, najjednostavnijem modelu prostor-vremena s crnom rupom.In this work we generalize the Weierstrass representation formula for surfaces in the Minkowski space. The Weierstrass parametrization is a local conformal parametrization of a surface which represents every minimal surface in \(\mathbb{E}^3\) by a pair of complex functions \((f,g)\), where \(f\) is holomorfic and \(g\) a meromorfic function. In the first part we introduce the basic terms and results on surfaces in the Minkowski space with focus on lightlike surfaces and dual functions, which we will use as the tool for representing lightlike surfaces. We analyse the parametrizations for spacelike and timelike surfaces which are already known and show that McNertney’s formula represents all regular spacelike surfaces when the functions \((f,g)\)) are not necessarily holomorphic. We find the Weierstrass representation for lightlike surfaces using a pair \((f,g)\) of dual functions, where \(f\) is holomorphic and \(g\) a meromorphic function. Every lightlike surface in \(\mathbb{M}^3\) is minimal. Using the link with dual numbers, we find the lightlike catenoid and helicoid and we construct the entire associated family and the adjoint surface of a lightlike surface. We show a 1-1 correspondence between the conformal parametrizations of a maximal/minimal surface and the conformal parametrizations of a unit sphere. In the second part we generalize every Weierstrass parametrization for 2-surfaces in \(\mathbb{M}^4\) analogously as in the Euclidean space. For spacelike surfaces this is already done by using complex functions, for timelike surfaces we use complex functions \((q,r)\) of two real variables and real functions \((f,g)\) and for lightlike surfaces we use dual functions \((\rho, f,g)\). For each representation we find the class of functions which represent maximal/minimal surfaces. We generalize the parametrization for spacelike surfaces for 2-surfaces in \(\mathbb{M}^n\). In general relativity we find a local parametrization of the so-called trapped surfaces in the Schwarzschild space, the simplest model of spacetime containing a black hole