Nonlinear discrete filters for the numerical solution of hyperbolic conservation laws

Hyperbolische Erhaltungsgleichungen besitzen die Eigenschaft, dass ihre verallgemeinerten Lösungen selbst für stetige Anfangswertbedingungen Unstetigkeiten aufweisen, so dass sich die Konstruktion geeigneter numerischer Differenzenapproximationen als schwierig erweist. Im Gegensatz zu technisch hochentwickelten und rechenzeitintensiven Differenzenverfahren werden in der vorliegenden Arbeit einfache Differenzenapproximationen höherer Ordnung mit nichtlinearen, diskreten Filteralgorithmen gekoppelt. Die Konstruktion der Filteralgorithmen wird dabei einerseits durch Filterroutinen, die in der Bildverarbeitung zum Wiederherstellen verrauschter Bilder eingesetzt werden, andererseits durch vollständig diskrete Überlegungen motiviert. Die entwickelten Filterroutinen werden als nichtlineare Dissipationen interpretiert und in klassische Differenzenverfahren höherer Ordnung integriert. Durch die Filterintegration werden die durch das Differenzenverfahren verursachten Oszillationen bei gleichzeitiger Erhaltung der Unstetigkeiten reduziert. Es ergeben sich neue Verfahren höherer Ordnung, die Unstetigkeiten hochaufgelöst darstellen und weitgehend oszillationsfrei sind. Ihre gute Performanz wird anhand von ein- und zweidimensionalen Testfällen, insbesondere den Euler-Gleichungen der Gasdynamik, demonstriert.Because of their nonlinear nature hyperbolic conservation laws tend to develop discontinuous weak solutions even from smooth initial data. Therefore, the construction of appropriate numerical approximations of these equations is quite difficult and a lot of sophisticated difference schemes with high computational costs and implicitly defined diffusion tensors exist. In this thesis, in contrast, we develop new numerical methods by combining computationally cheap but oscillating high-order difference schemes together with nonlinear discrete filter operators correcting discrete values locally. Since these discrete filter devices can be viewed as nonlinear dissipations, their construction is motivated by ideas from image processing, where a various number of nonlinear diffusion equations capable of denoising images can be found. Moreover we develop filter operators by completely discrete considerations. The integration of the new filter routines into classical high-order difference schemes leads to a nearly entire reduction of the oscillations caused by the difference schemes while the sharp shock resolution of the methods is preserved. In this way, we achieve nearly oscillation-free, new and simple finite difference schemes of higher order and with explicitly defined diffusion tensors. Their good performance is demonstrated by means of one- and two-dimensional test cases particularly with regard to the Euler equations of gas dynamics