Der multiple hybride Bootstrap und Testen auf periodische Stationarität im Spektralbereich

In the first part of this thesis, a new bootstrap procedure for dependent data is proposed and its properties are discussed. Under the assumption of a linear process, the idea of the autoregressive aided periodogram bootstrap (AAPB) of Kreiss and Paparoditis (2003) is reconsidered and in two directions generalized and complemented, respectively. On the one hand, the AAPB is modified in such a way that it is eventually able to generate bootstrap observations in the time domain, which is not possible for the AAPB. On the other hand, multivariate processes of arbitrary dimension are considered. It is shown that the multiple hybrid bootstrap (mHB) that includes the AAPB as a special case, is consistent under quite general assumptions for the sample mean and for kernel spectral density estimates. Moreover, for autocovariances and autocorrelations, different results between the univariate and the multivariate case are discussed. The second part deals with multivariate linear periodically stationary models, which generalize the usual stationary linear models in that effect that their coefficients are no longer assumed to be constant over time, but to behave periodically. These models may be represented as higher-dimensional stationary models and it is shown that their autocovariance structures as well as their spectral densities form upon specific patterns if and only if the underlying processes are actually not just periodically stationary, but also stationary. To test for stationarity, a test statistic based on nonparametric spectral density estimates is constructed that takes advantage of this specific shape. The asymptotic normal distribution of the test statistic is derived and it is shown that the test is asymptotically consistent. Moreover, it is demonstrated how to use the test statistic to test for periodic stationarity with shorter period. Finally, the mHB is used to obtain critical values that are more adequate than those from the CLT.Im ersten Teil wird ein neues Bootstrapverfahren für abhängige Daten vorgeschlagen und dessen Eigenschaften werden diskutiert. Unter der Annahme eines linearen Prozesses, wird die Idee des autoregressive aided periodogram bootstrap (AAPB) von Kreiss und Paparoditis (2003) neu aufgegriffen und in zwei Richtungen verallgemeinert bzw. ergänzt. Zum einen wird das dort untersuchte Bootstrapverfahren so modifiziert, dass es schließlich in der Lage ist, Beobachtungen im Zeitbereich zu erzeugen, was dem AAPB nicht möglich ist. Zum anderen werden multivariate Prozesse beliebiger Dimension betrachtet. Es wird gezeigt, dass der multiple hybride Bootstrap (mHB), der den AAPB als Spezialfall enthält, unter allgemeinen Voraussetzungen für den Mittelwert und Spektraldichteschätzer konsistent ist. Ebenso werden im univariaten und im multivariaten Fall die verschiedenen Resultate für Autokovarianzen und Autokorrelationen diskutiert. Der zweite Teil beschäftigt sich mit multivariaten linearen periodisch stationären Modellen, welche die üblichen stationären linearen Modelle dahingehend verallgemeinern, dass die Modellparameter nicht mehr konstant über die Zeit sind, sondern sich periodisch verhalten. Diese Modelle lassen sich als höherdimensionale stationäre Modelle auffassen und es wird gezeigt, dass deren Autokovarianzstruktur sowie deren Spektraldichten genau dann einem bestimmten Muster folgen, wenn der Prozess tatsächlich nicht nur periodisch stationär, sondern auch stationär ist. Zum Testen auf Stationarität wird eine Teststatistik basierend auf nichtparametrischen Spektraldichteschätzern konstruiert, welche diese Struktur ausnutzt. Die asymptotische Normalität der Teststatistik unter der Hypothese wird hergeleitet und gezeigt, dass der Test konsistent ist. Ebenso wird demonstriert, wie man die Teststatistik benutzen kann, um auf periodische Stationarität kürzerer Periode zu testen. Schließlich wird der mHB benutzt, um geeignetere kritische Werte als mit dem ZGWS zu erhalten