Numerical Development and Implementation of Generalised Viscoelastic Mo- dels and the Study of Complex Fluids

A modelagem dos fenômenos físicos melhorou bastante nos últimos anos, principalmente devido ao desenvolvimento contínuo de novas ferramentas matemáticas (numéricas e analíticas). Hoje em dia, a simulação numérica de grande parte do trabalho experimental é uma demanda e, o objetivo é geralmente a otimização do processo e a redução de custos. Um caso clássico é o estudo de escoamentos de fluidos e mecânica dos sólidos, onde a modelagem numérica desempenha um papel fundamental. Nas últimas décadas, muita atenção foi dada à modelagem fracionária, onde a derivada de ordem inteira típica é substituída por uma não-inteira, levando a uma definição mais geral de derivada e a uma definição mais geral de (sistemas de) equações diferenciais. Neste trabalho, estamos interessados na solução numérica de equações de modelagem constitutivas que usam funções resultantes do cálculo fracionário, para modelar materiais viscoelásticos. Portanto, neste trabalho, começamos por mostrar a conexão entre os modelos de Maxwell viscoelásticos clássicos e fracionários, apresentando a teoria básica por trás dessas equações constitutivas. Em seguida desenvolvemos novos modelos generalizados que permitem fazer uma boa modelagem de diferentes materiais viscoelásticos, mas que, não apresentam os problemas de núcleos singulares encontrados nos modelos fracionários (os núcleos singulares representam um problema na implementação numérica dos modelos). Os novos modelos são implementados em códigos numéricos gerais, mais particularmente, no código HiG-Flow. A implementação numérica é verificada desenvolvendo novas soluções analíticas e comparando as soluções numéricas mais complexas com resultados de referência da literatura.The modeling of physical phenomena has greatly improved in recent years, mainly thanks to the continuous development of new mathematical tools (numerical and analytical). Today, numerical simulation of much of the experimental work is in demand, and the goal is usually process optimization and cost reduction. A classical case is the study of fluid flow and solid mechanics, where numerical modeling plays a key role. In recent decades, much attention has been paid to fractional modeling, where the typical integer order derivative is replaced by a non-integer one, leading to a more general definition of the derivative and a more general definition of (systems of) differential equations. In this work, we are interested in the numerical solution of constitutive modeling equations using functions resulting from fractional calculus to model viscoelastic materials. Therefore, in this work, we start by showing the connection between the classical and fractional Maxwell viscoelastic models and present the basic theory behind these constitutive equations. We then develop new generalized models that provide good modeling of various viscoelastic materials, but do not exhibit the problems with singular kernels that occur in fractional models (singular kernels pose a problem in the numerical implementation of the models). The new models will be implemented in general numerical codes, in particular the HiG-Flow code. The numerical implementation will be verified by developing new analytical solutions and comparing more complex numerical solutions with reference results from the literature