Étude asymptotique de deux problèmes de la mécanique de fluides : formation de couches limites près des côtes rugueuses non périodiques et comportement d’ondes progressives dans le problème de Hele-Shaw

This manuscript deals with the asymptotic analysis of two problems arising in fluid mechanics: the effect of roughness on oceanic motion taking as a starting point the single-layered quasigeostrophic equation and the mathematical description of congestion phenomena in tumor growth. First, we are interested in the impact of the irregularities of the coastline on wind-driven oceanic motion when the geometry of the coasts does not follow a specific spatial pattern. The assumption on the roughness has two main consequences in the asymptotic analysis of the quasigeostrophic model: the governing boundary layer equations are defined in infinite domains with not-decaying boundary data, and the eastern boundary layer exhibits convergence issues far from the boundary. We establish the well-posedness of the solution of the boundary layer profiles in nonlocalized Sobolev space by adding ergodicity properties and using pseudo-differential analysis. We construct an approximate solution to the original problem and analyze its convergence. In the second part of this work, we study a one-dimensional porous medium equation (PME) modeling the mechanical properties of tumor growth. We are interested in the singular ``stiff pressure law'' limit when the PME degenerates towards a free boundary problem of Hele-Shaw type. We provide a refined description of the traveling waves in the vicinity of the transition between the free domain with zero pressure and the congested domain with positive pressure and then perform a stability analysis of the traveling waves.Ce manuscrit porte sur l'analyse asymptotique de deux problèmes provenant de la mécanique des fluides : l'effet des rugosités sur le comportement des courants océaniques et la description mathématique des phénomènes de congestion dans la croissance tumorale. Tout d'abord, nous analysons l'impact des irrégularités du littoral sur le mouvement océanique entraîné par le vent, lorsque la géométrie des côtes ne suit pas un modèle spatial précis. Cette hypothèse a deux conséquences principales dans l'étude du problème singulièrement perturbé qu'est le modèle quasigéostrophique 2D : les équations de couches limites sont définies dans des domaines infinis avec des données aux bords non décroissantes ; et la couche limite à l'Est présente des problèmes de convergence loin de la frontière. Nous montrons le caractère bien posé de ces problèmes dans des espaces de Sobolev non locaux en nous servant des propriétés d'ergodicité et de l'analyse pseudodifférentielle. Nous construisons une solution approchée du problème original et analysons sa convergence. Dans la deuxième partie de ce travail, nous étudions une équation du milieu poreux (EMP) unidimensionnelle modélisant les propriétés mécaniques de la croissance tumorale. Nous nous intéressons à la limite singulière "loi de pression rigide'' lorsque l'EMP dégénère vers un problème à frontière libre de type Hele-Shaw. Nous proposons une description précise des ondes progressives au voisinage de la transition entre le domaine libre à pression nulle et le domaine incompressible à pression positive. Nous effectuons après une analyse de stabilité des ondes progressives