Problèmes aux limites des opérateurs elliptiques quasi-linéaires et d’ordre supérieur et application à la bifurcation et la stabilisation

In this thesis, we are interested in the study of nonlinear eigenvalue problem and the controllability of partial differential equations in a smooth bounded domain with boundary. The first part is devoted to the analysis of an eigenvalue problem for quasilinear elliptic operators involving homogeneous Dirichlet boundary conditions. We investigate the asymptotic behaviour of the spectrum of the related problem by showing on the one hand the bifurcation results from trivial solutions using the Krasnoselski bifurcation theorem and bifurcation from infinity using the Leray-Schauder degree on the other hand. We also prove the existence of multiple critical points using variational methods and the Krasnoselski genus. At last, we show a stabilization result for the damped plate equation with logarithmic decay of the associated energy. The proof of this result is achieved by means of a proper Carleman estimate for the fourth-order elliptic operators involving the so-called Lopatinski˘ı-Šapiro boundary conditions and a resolvent estimate for the generator of the damped plate semigroup associated with these boundary conditions.Dans cette thèse, on s’intéresse à l’étude des problèmes aux valeurs propres nonlinéaires et à la contrôlabilité des équations aux dérivées partielles dans un domaine borné, régulier avec bord. La première partie est consacrée à l’analyse d’un problème aux valeurs propres pour des opérateurs elliptiques quasi-linéaires avec des conditions aux limites homogènes de Dirichlet. Nous étudions le comportement asymptotique du spectre du problème correspondant en montrant d’une part les résultats de bifurcation à partir de solutions triviales en utilisant le théorème de bifurcation de Krasnoselski et d’autre part la bifurcation à l’infini en utilisant le degré de Leray-Schauder. Nous prouvons également l’existence de points critiques multiples en utilisant des méthodes variationnelles et le genre de Krasnoselski. Enfin, nous montrons un résultat de stabilisation pour l’équation des plaques amorties avec une décroissance logarithmique de l’énergie associée. La preuve de ce résultat est réalisée au moyen d’une estimation de Carleman pour les opérateurs elliptiques d’ordre quatre avec les conditions au bord dites de Lopatinski˘ı-Šapiro et d’une estimation de la résolvante pour le générateur du semigroupe de la plaque amortie associé à ces conditions aux limites