Études mathématique et numérique de modèles décrivant la motilité cellulaire

Cell migration occurs in many fundamental biological processes and it is an highly complex phenomenon: it is the result of a great amount of intracellular interactions and it occurs through different scales in time and spaces. This Thesis is dedicated to the study of mathematical models describing cell migration by crawling. We developed two different modeling approaches. First, the cell is a moving domain with deformable shape moving thanks to its internal dynamics. We consider a phase field-model of Canh-Hilliard type coupled with a reaction-diffusion equation. We proved formally that this model converges to a Hele-Shaw type free-boundary problem with a surface tension and including an additional destabilizing boundary term depending on the boundary velocity. We conduce a rigorous analysis in the 1D and 2D case and we found the existence of two phenomena: the appearance of Traveling Wave like solution and of Hysteresis phenomenon. This occurs when the destabilizing boundary term is strong enough. Second, we consider the cell as a moving active particle and we study the effects of a complex external environment on the cell motion. We analyzed the competition of three quantities: the internal dynamics, the action of an attracting signal and the presence of fixed circular obstacles. We numerically observe the existence of a velocity value that the cell can not exceed even if signal intensity increases. The velocity threshold value depends on the number of obstacles. We believe that these models represent an important contribution for a better understanding of cell migration, since they are able to describe the polarization and the guidance of cell motion.La motilité cellulaire est un phénomène complexe qui intervient dans de nombreux processus biologiques fondamentaux. En effet, elle est le résultat d'un grand nombre d'interactions faisant intervenir différentes échelles de temps et d'espace. Cette thèse est consacrée à l'étude de plusieurs modèles mathématiques décrivant la motilité cellulaire par reptation. Nous avons développé deux approches différentes de modélisation. Dans une première partie, nous considérons la cellule comme un domaine déformable qui se déplace grâce à sa dynamique interne. Nous étudions un modèle de champ de phase de type Canh-Hilliard couplé à une équation de réaction-diffusion et nous montrons que ce modèle converge formellement vers un problème à frontière libre de type Hele-Shaw avec tension surface qui inclut un terme de bord non standard déstabilisant et qui dépend de la vitesse du bord. Nous effectuons une analyse rigoureuse dans les cas 1D et 2D et nous montrons l'apparition de deux phénomènes : l'existence de solutions de type Traveling Wave et le phénomène d'Hystérésis. Ces phénomènes se produisent lorsque le terme déstabilisant du bord est suffisamment fort. Dans une deuxième partie, nous considérons la cellule comme une particule active et nous étudions les effets d'un environnement externe complexe sur le mouvement de la cellule. Nous étudions la compétition de trois quantités : la dynamique interne, l'action d'un signal qui attire la cellule et la présence d'obstacles fixes de forme circulaire. Nous observons numériquement l'existence d'une valeur de la vitesse que la cellule ne dépasse pas, même si l'intensité du signal augmente. Cette valeur seuil de la vitesse dépend du nombre d'obstacles. Nous pensons que ces modèles pourront permettre de mieux comprendre certains aspects de la motilité cellulaire puisqu'ils sont capables de décrire la polarisation et l'interaction avec l'environnement extérieur