Constructions de multiplication complexe d’extensions abéliennes de corps quartiques

Let (K, Φ) be a primitive quartic CM pair and (Kr , Φr ) be its reflex. In a 1962 article titled On the class-fields obtained by complex multiplication of abelian varieties, Shimura considered a particular family {FKr (m) : m ∈ Ú>0} of abelian extensions of K, and showed that the Hilbert class field HKr (1) of K is contained in FKr (m) for some positive integer m. In this thesis, we make this m explicit. We also give a way to determine, given a positive integer n, whether or not HKr (1) ⊆ FKr (n). In addition, we show a way to compute defining polynomials of the extension FKr (n)/Kr for any positive integer n. We also give an algorithm that computes a set of defining polynomials for the Hilbert class field HKr (1) using information on FKr (m). Our proof-of-concept implementation of this algorithm computes a set of defining polynomials much faster than current implementations of the generic Kummer algorithm for certain examples of quartic CM fields.Soit (K, Φ) une paire CM quartique primitive et (Kr , Φr ) son réflexe. Dans un article de 1962 intitulé On the class-fields obtained by complex multiplication of abelian varieties, Shimura considère une famille particulière {FKr (m) : m ∈ Ú>0} d’extensions abéliennes de K, et montre que le corps de classe Hilbert HKr (1) de K est contenu dans FKr (m) pour un certain entier positif m. Dans cette thèse, nous donnons une valeur explicite de cet entier m. Nous donnons également un moyen de déterminer, étant donné un entier positif n, si HKr (1) ⊆ FKr (n) ou non. De plus, nous donnons une manière de calculer les polynômes de définition de l’extension FKr (n)/Kr pour tout entier positif n. Nous donnons également un algorithme qui calcule un ensemble de polynômes de définition pour le corps de classes de Hilbert HKr (1) en utilisant des informations sur FKr (m). Nous avons implanté cet algorithme et nous calculons un ensemble de polynômes de définition beaucoup plus rapidement que les implantations actuelles de l’algorithme générique de Kummer pour certains exemples de corps CM quartiques