Marches quantiques sous champ magnétique et cages d’Aharonov-Bohm

Discrete time quantum walks (DTQW) are a quantum generalization of classical random walks. In two space dimensions and under a transverse magnetic field, the plot of the quasi-energies of a DTQW as a function of the magnetic flux gives a Floquet-Hofstadter butterfly, which is the phase diagram of a topological insulator. To index its gaps, a new topological invariant(called RLBL) must be defined which takes into account the periodicity of the quasi-energies. Forsome lattices (diamond chain, T3 tiling), the DTQW also presents Aharonov-Bohm cages which correspond to an extreme location of the walker due to a destructive magnetic interference.These cages require specific dice but exhibit richer dynamics than the tight-binding models.The spatial extension of the cages can be controlled. The introduction of perturbations, such asstatic or dynamic disorder on the dice or interactions, leads to the breaking of these cages and induces different behaviors: exponential localization, diffusion, anomalous diffusion or ballistic propagation. Eventually a last chapter is devoted to the study of the Hubbard two-body modelon a chain with a disordered interaction. Due to disorder, molecular states can be Anderson localised or dissociate by hybridization with the atomic band. Atomic states exhibit signatures of “quantum chaos”. We also find states that are localized along a single direction that are called “separatrix states” and that have no equivalent in the usual quantum billiards.Les marches quantiques à temps discret (MQTD) sont une généralisation quantique des marches aléatoires classiques. À deux dimensions d’espace et sous un champ magnétique transverse, le tracé des quasi-énergies d’une MQTD en fonction du flux magnétique donne un papillon de Floquet-Hofstadter, qui est le diagramme de phase d’un isolant topologique. Pour indexer ses gaps, un nouvel invariant topologique (appelé RLBL) doit être défini qui tient compt ede la périodicité des quasi-énergies. Pour certains réseaux (chaîne de boucles, pavage T3), la MQTD présente également des cages d’Aharonov-Bohm qui correspondent à une localisation extrême du marcheur en raison d’une interférence magnétique destructive. Ces cages nécessitent des dés spécifiques mais présentent une dynamique plus riche que celle des modèles de liaisons fortes. L’extension spatiale des cages peut être contrôlée. L’introduction de perturbations, telles que du désordre statique ou dynamique sur les dés ou des interactions, conduit à briser ces cages et induit des comportements différents: localisation exponentielle, diffusion, diffusion anormale ou encore propagation balistique. Enfin, un dernier chapitre est consacré à l’étude du modèle de Hubbard à deux corps sur une chaîne avec une interaction désordonnée. En raison du désordre,les états moléculaires peuvent se localiser d’Anderson ou se dissocier par hybridation avec une bande atomique. Les états atomiques présentent des signatures du “chaos quantique”. Nous trouvons également des états qui sont localisés le long d’une seule direction que l’on nomme “états séparatrices” et qui n’ont pas d’équivalent dans les billards quantiques usuels