De champs vers chemins, histoire d’un aller et retour

The Gaussian free field (GFF) is one of the most fundamental objects of Statistical Physics and Quantum Field Theory. There is a strong connection between this GFF and the random walks (in discrete) and the Brownian motion (in continuum). These are the so called ”isomorphism theorems”, which originate from Euclidean Quantum Field Theory. This manuscript presents an overview of the results obtained by myself and my coauthors on this topic. An important aspect of my work was to relate in dimension 2 the isomorphism theorems to the theory of Schramm-Loewner Evolutions (SLE) and to describe the intrinsic geometry of the 2D continuum GFF in terms of clusters of Brownian trajectories. A method commonly used throughout this manuscript is that of metric graphs, which I introduced earlier during my PhD. Other aspects of the isomorphism theorems covered by this manuscript include their relation to the 2D Gaussian multiplicative chaos, their relation to the topological expansion, and the inversion of the isomorphism theorems and how it involves self-repelling processes.Le champ libre gaussien (CLG) est un des objets le plus fondamentaux de la Physique Statistique et de la Théorie Quantique des Champs. Il y a une forte relation entre ce CLG et les marches aléatoires (dans le discret) et le mouvement brownien (dans le continu). Ce sont les théorèmes dit ”d’isomorphisme”, qui proviennent de la Théorie Quantique des Champs Euclidienne. Ce manuscrit présente un panorama des résultats obtenus par moi-même et mes coauteurs sur ce sujet. Un aspect important de mon travail a été de relier en dimension 2 les théorèmes d’isomorphisme à la théorie des Évolutions de Schramm-Loewner (SLE) et de décrire la géométrie intrinsèque du CLG sur espace continu 2D en termes d’amas de trajectoires browniennes. Une méthode beaucoup utilisée dans ce manuscrit est celle des graphes métriques, que j’ai introduite pendant mon Doctorat. Les autres aspects des théorèmes d’isomorphisme traités dans ce manuscrit incluent leurs relations avec le chaos multiplicatif gaussien en dimension 2, leurs relations avec l’expansion topologique, ainsi que l’inversion des théorèmes d’isomorphisme et comment cela fait intervenir des processus auto-répulsifs