Théorie locale et comportement en long temps des solutions des équations de Schrödinger non linéaires

Our main research is to study nonlinear Schrodinger equations, especially derivative nonlinear Schrödinger equations. Our first goal is to answer questions about the existence and uniqueness of solutions, considering whether the time of existence is finite or infinite and checking whether solutions depend continuously on initial data or not. When solutions exist, we study the behaviour of solutions at large times, answering questions about stability and instability of solitons/algebraic standing waves/periodic waves, the existence of blow-up solutions, the existence of multi-soliton trains, and the existence of multi kink-soliton trains. The Cauchy problem of the derivative nonlinear Schrodinger equations was treated many in the Sobolev space H^1(R). The first main goal is to establish local theory with nonvanishing boundary conditions. We use a Gauge transform method to transfer the original equation into a system without derivative terms. By studying the Cauchy problem of this system, we obtain the results for the original equation. Next, we consider the nonlinear Schrodinger equation with derivative nonlinearities in half-line case with Robin boundary condition. We prove the existence of blow-up solutions. Moreover, we prove that the equation admits the special solutions which are called standing waves. This solution is a minimizer of a variational problem. We prove the stability and instability of this kind of solution depending on the sign of the given Robin condition parameter. Next, we investigate the multi solitons theory of derivative nonlinear Schrodinger equations. The existence of this kind of solution shows that there exists a global solution with an arbitrary large of initial data. The method used for classical nonlinear Schrodinger equations can not apply in this case with derivative nonlinearities. We take advantage of Gauge transform to overcome this difficulty. Finally, we consider the nonlinear Schrodinger equation with triple power. Our goal is to prove the instability of algebraic standing waves i.e the standing waves with zero frequency. Our motivation is from the work of Liu-Tsai-Zwiers where the authors gave a picture of the stability and instability of standing waves of triple power NLS in one dimension and the work of Fukaya-Hayashi where the authors proved the instability of algebraic waves in the case of double power NLS.Notre recherche principale est d'étudier les équations de Schrödinger non linéaires, en particulier les équations de Schrödinger non linéaires dérivées. Notre premier objectif est de répondre aux questions sur l'existence et l'unicité des solutions, de considérer si le temps d'existence est fini ou infini et de vérifier si les solutions dépendent continuellement des données initiales ou non. Lorsque des solutions existent, nous étudions le comportement des solutions à des temps grands, en répondant à des questions sur la stabilité et l'instabilité des solitons/ondes stationnaires algébriques/ondes périodiques, l'existence de solutions d'explosion, l'existence de trains multi-solitons, et l'existence de trains multi kink-solitons. Le problème de Cauchy des équations de Schrödinger non linéaires dérivées a été traité plusieurs fois dans l'espace de Sobolev H^1(R). Le premier objectif principal est d'établir une théorie locale avec des conditions aux limites non nulles. Nous utilisons une méthode de transformation de jauge pour transférer l'équation d'origine dans un système sans termes dérivés. En étudiant le problème de Cauchy de ce système, on obtient les résultats pour l'équation originale. Ensuite, nous considérons l'équation de Schrodinger non linéaire avec des non-linéarités dérivées dans le cas d'une demi-droite avec une condition aux limites de Robin. Nous prouvons l'existence de solutions d'explosion. De plus, nous prouvons que l'équation admet des solutions particulières appelées ondes stationnaires. Cette solution est un minimiseur d'un problème variationnel. Nous prouvons la stabilité et l'instabilité de ce type de solution en fonction du signe du paramètre de condition de Robin donné. Ensuite, nous étudions la théorie multi solitons des équations de Schrödinger non linéaires dérivées. L'existence de ce type de solution montre qu'il existe une solution globale avec un nombre arbitraire de données initiales. La méthode utilisée pour les équations de Schrödinger non linéaires classiques ne peut pas s'appliquer dans ce cas aux non linéarités dérivées. Nous profitons de la transformation de jauge pour surmonter cette difficulté. Enfin, nous considérons l'équation de Schrödinger non linéaire à puissance triple. Notre objectif est de prouver l'instabilité des ondes stationnaires algébriques, c'est-à-dire les ondes stationnaires de fréquence nulle. Notre motivation vient des travaux de Liu-Tsai-Zwiers où les auteurs ont donné une image de la stabilité et de l'instabilité des ondes stationnaires de triple puissance NLS en une dimension et des travaux de Fukaya-Hayashi où les auteurs ont démontré l'instabilité des ondes algébriques ondes dans le cas d'un NLS à double puissance