Geometric integral inequalities on homogeneous spaces

This thesis is devoted to the study of some integral inequalities on Lie groups and their homogeneous spaces. In the first part of the thesis we provide a general strategy to obtain multilinear inequalities of Brascamp-Lieb type on compact homogeneous spaces and we apply it to the case of the torus and of the real unit sphere. We also obtain some Brascamp-Lieb type inequalities in the noncompact context of stratified Lie groups. In the second part of the thesis, as a consequence of integral bounds for quaternionic spherical harmonics, we prove some bounds from below for the (Lp, L2) norm of the harmonic projection operators on the quaternionic sphere, for p ∈ [1, 2]. Moreover, in analogy with some earlier results by J. Duoandikoetxea on the real unit sphere, we prove some dimension free bounds for bigraded spherical harmonics on the complex and quaternionic unit spheres.In questa tesi studiamo alcune stime integrali su gruppi di Lie e loro spazi omogenei. Nella prima parte della tesi sviluppiamo una strategia generale per ottenere stime multilineari di tipo Brascamp-Lieb su spazi omogenei compatti e la applichiamo ai casi del toro e della sfera unitaria reale. Otteniamo anche delle disuguaglianze di tipo Brascamp-Lieb nel contesto non compatto dei gruppi di Lie stratificati. Nella seconda parte della tesi, come conseguenza di stime integrali per armoniche sferiche quaternioniche, dimostriamo alcuni limiti dal basso per le norme (Lp,L2) degli operatori di proiezione sugli spazi delle armoniche sferiche sulla sfera quaternionica, per p ∈ [1, 2]. Inoltre, in analogia con risultati di J. Duoandikoetxea sulla sfera unitaria reale, dimostriamo alcune stime non dipendenti dalla dimensione per armoniche sferiche bigradate sulle sfere unitarie complessa e quaternionica