Sur les solutions générales d'un problème de factorisation relative au rang

Vibration analysis aims at identifying potential failures of a rotating machinery from the monitoring of its vibration levels, i.e., by measuring the vibrations and comparing them to known failure vibration signals. For the diagnostic of gearboxes, new demodulation methods have recently been introduced in acoustic and signal processing. This new approach yields the problem of writing/factorizing a matrix M as D_1 u v_1 + ... + D_r u v_r = (D_1 u ... D_r u) (v_1^T ... v_r^T)^T,where the D_i's are fixed matrices, u (resp., v_i) is a row (resp., column) vector to be determined and i=1, ..., r. In this paper, using module theory and homological algebra, we study this rank factorization problem. More precisely, we characterize the general solutions of this family of polynomial systems. Finally, the results we develop are effective in the sense of computer algebra. Thus, they can be implemented in standard computer algebra systems handling polynomial systems and basic homological algebra methods (e.g., the Singular system, the GAP library CapAndHomalg, the Maple package OreModules).L'analyse vibratoire a pour but d'identifier de potentiels défauts d'une machine tournante grâce à la surveillance de ses niveaux de vibration, c'est-à-dire, grâce à la mesure de ses vibrations et à leur comparaison avec des signaux de défauts connus. Pour le diagnostic d'engrenages, de nouvelles méthodes de démodulation ont récemment été introduites en acoustique et en traitement du signal. Cette nouvelle approche a permis l'étude du problème consistant à écrire/factoriser une matrice M sous la forme de D_1 u v_1 + ... + D_r u v_r = (D_1 u ... D_r u) (v_1^T ... v_r^T)^T, où les D_i sont des matrices fixées, u (resp., v_i) est un vecteur colonne (resp., un vecteur ligne) à déterminer et i=1, ..., r. Dans ce papier, en utilisant la théorie des modules et l'algèbre homologique, nous étudions ce problème de factorisation relative au rang. Plus précisément, nous caractérisons les solutions générales de cette famille de systèmes polynomiaux. Finalement, les résultats obtenus sont effectifs au sens du calcul formel. Ainsi, ils peuvent être implantés dans des systèmes standards de calcul formel permettant l'étude effective des systèmes polynomiaux et des méthodes élémentaires d'algèbre homologique (par exemple, le système Singular, la librairie CapAndHomalg de GAP, le package OreModules écrit en Maple)