Finite height representations and syntomic complex

The aim of this thesis is to study finite height crystalline representations in relative p-adic Hodge theory, and apply the results thus obtained towards the computation of continuous Galois cohomology of these representations via syntomic methods. In 1980’s, Fontaine initiated a program for classifying p-adic representations of the absolute Galois group of a p-adic local field by means of certain linear-algebraic objects functorially attached to the representations. One of the aspects of his program was to classify all p-adic representations of the Galois group in terms of étale (phi, Gamma)-modules. On the other hand, Fontaine showed that crystalline representations can be classified in terms of filtered phi-modules. Therefore, it is a natural question to ask for crystalline representations: Does there exist some direct relation between the filtered phi-module and the étale (phi, Gamma)-module? Fontaine explored this question himself, where he considered finite height represenations (defined in terms of (phi, Gamma)-modules) and examined their relationship with crystalline representations. This line of thought was further explored by Wach, Colmez, and Berger. In particular, Wach gave a description of finite height crystalline representations in terms of (phi, Gamma)-modules. In the relative case, the theory of (phi, Gamma)-modules has been developed by the works of Andreatta, Brinon and Iovita. Further, the analogous notion of crystalline representations was studied by Brinon. The first main contribution of our work is the notion of relative Wach modules. Motivated by the theory of Fontaine, Wach and Berger, we define and study some properties of relative Wach modules. Further, we explore their relation with Brinon’s theory of relative crystalline representations and associated F-isocrystals. The second result is concerned with the computation of Galois cohomology using syntomic complex with coefficients. This idea was utilized in a recent work of Colmez and Niziol, where they carry out the computation for cyclotomic twists of the trivial representation. Under certain technical assumptions, we show that for finite height crystalline representations, one can essentially generalize the local result of Colmez and Niziol.Le but de cette thèse est d’étudier les représentations cristallines de hauteur finie en théorie de Hodge p-adique relative, et d’appliquer les résultats ainsi obtenus au calcul de la cohomologie galoisienne continue de telles représentations via des méthodes syntomiques.Dans les années 1980, Fontaine a lancé un programme pour classer les représentations p-adiques du groupe de Galois absolu d’un corps local p-adique au moyen de certains objets algébriques linéaires attachés fonctoriellement aux représentations. Un aspect de son programme consistait à classer toutes les représentations p-adiques du groupe de Galois en termes de (phi, Gamma)-modules étales. D’autre part,Fontaine a montré que les représentations cristallines peuvent être classées en termes de phi-modules filtrés admissibles. Par conséquent, c’est une question naturelle de demander pour des représentations cristallines : existe-t-il une relation directe entre le phi-module filtré et le (phi, Gamma)-module étale ? Fontainea exploré cette question lui-même, où il a considéré les représentations de hauteur finie (définies en termes de (phi, Gamma)-modules) et examiné leur relation avec les représentations cristallines. Ce point de vue a été exploré plus avant par Wach, Colmez et Berger. En particulier, Wach a donné une description des représentations cristallines de hauteur finie en termes de (phi, Gamma)-modules.Dans le cas relatif, la théorie des (phi, Gamma)-modules a été développée par les travaux d’Andreatta, Brinon et Iovita. De plus, la notion analogue de représentations cristallines a été étudiée par Brinon.La première contribution de notre travail est la notion de modules de Wach relatifs. Motivés par la théorie de Fontaine, Wach et Berger, nous définissons et étudions quelques propriétés des modules deWach relatifs. De plus, nous explorons le lien avec la théorie de Brinon des représentations cristallines relatives et F-isocristaux associé.Le deuxième résultat concerne le calcul de la cohomologie galoisienne à l’aide de complexes syntomiques à coefficients. Cette idée a été utilisée dans un travail récent de Colmez et Niziol, où ils effectuent le calcul pour les représentations associées aux puissances du caractère cyclotomique. Sous certaines hypothèses techniques, nous montrons que pour des représentations cristallines de hauteur finie, on peut essentiellement généraliser le résultat local de Colmez et Niziol