A new design method of fractional order PI and PD controller for time delay systems

Amaç: Bu çalışmadaki amaç, kesirli dereceli modellemenin sistem performansını ve verimliliğini genel olarak iyileştirdiği bilindiğinden bu modelleri kontrolör tasarımında kullanmaktır. Ayrıca zaman gecikmesi teriminin eş değeri olan Euler dönüşümünün yerine bu terimin alternatifleri olan Padé yaklaşımı, Rekasius ve Thowsen dönüşümlerini kullanarak kararlılık bölgelerini elde etmektir. Bir diğer amaç ise elde edilen kararlılık bölgelerini kullanarak literatüre yeni tanıtılmış bir metot olan dışbükey kararlılık bölgesinin ağırlık merkezi yöntemi ile kesirli dereceli kontrolör tasarımı yapmaktır. Materyal ve Yöntem: İlk olarak bu çalışmada s^(alpha) teriminin realizasyonu için önemli yöntemlerden biri olan sürekli kesir açılımı (SKA) metoduyla birinci dereceden onuncu dereceye kadar olan tam sayı dereceli yaklaşım modelleri elde edilmiştir. Daha sonra zaman gecikmeli sistemler için PI^(lambda), PD^(mu) ve PI^(lambda)D^(mu) olmak üzere üç farklı kontrolör tasarımı yapılmıştır. Kontrolör tasarımında zaman gecikmesi terimi yerine birinci ve ikinci derece Padé yaklaşımı, Rekasius ve Thowsen dönüşümü kullanılarak doğrusallaştırma yapılmıştır. Ayrıca dışbükey kararlılık bölgesinin ağırlık merkezi yöntemi olarak adlandırılan pratik bir ayarlama yöntemi sunulmuştur. Bulgular: Bu çalışmada birim geri beslemeli tek giriş-tek çıkışlı kontrol sistemleri ile ilgili bazı örnekler çözülmüştür. Sürekli kesir açılımı (SKA) yöntemiyle elde edilen rasyonel yaklaşımlar diğer yöntemlerle karşılaştırılmıştır. Zaman gecikmeli sistemler için farklı lambda ve mu değerlerine sahip kararlılık bölgeleri elde edilmiştir. Bu kararlılık bölgeleri literatürde olan zaman gecikmesi eş değerleriyle karşılaştırılmıştır. Ayrıca dışbükey kararlılık bölgesinin ağırlık merkezi yöntemiyle kesirli dereceli kontrolör parametreleri hesaplanmıştır. Elde edilen kontrolör parametreleri sayesinde birim adım yanıtları gösterilmiştir. Sonuç: Elde edilen yaklaşımlardan özellikle onuncu dereceden yaklaşımın diğer yaklaşımlara göre orijinal sistemi daha iyi yakaladığı gözlemlenmiştir. Zaman gecikmeli sistemler için Rekasius dönüşümü, Thowsen dönüşümü ve kısmen ikinci derece Padé yaklaşımının diğer zaman gecikmesi terimlerine göre daha iyi sonuç verdiği görülmüştür. Sunulan tasarım metodunun kesirli dereceli kontrolör tasarımında iyi sonuçlar verdiği gözlemlenmiştir.Objective: This study aims to use fractional-order modeling in controller design because that kind of modelling improves the system performance and efficiency in general. In addition, instead of Euler transform as an equivalent to time delay term, Padé approximations, Rekasius and Thowsen substitutions, as alternatives, are used to obtain stability regions. Another aim is to design fractional-order controller by using the obtained stability regions with the method of the centroid of the convex stability region, which has been introduced as a new method. Material and Methods: First, the continued fraction expansion (CFE), one of the most efficient strategies for implementing the s^(alpha) term in this study, is achieved for integer-order approximation models ranging from the first to the tenth order. Following that, three different controllers-PI^(lambda), PD^(mu), and PI^(lambda)D^(mu)-are designed for time delay systems. Instead of a time delay term, linearization is applied in the controller design utilizing first and second order Padé approximation, Rekasius, and Thowsen transformation. In addition, a practical adjustment method called the centroid of the convex stability region method is presented. Results: In this study, some examples of single input-single output control systems with unity feedback are solved. The rational approximations obtained using the continued fraction expansion (CFE) method are compared to those obtained through other methods. For time delay systems, stability regions with different lambda and mu values have been found. These stability areas are compared to the literature's time delay equivalents. In addition, the fractional-order controller parameters are computed using a realistic adjustment procedure known as the centroid of the convex stability region method. Thanks to the obtained controller parameters, the unit step responses are shown. Conclusion: It has been observed that particularly, the tenth order approximation is better than among others to represent the original system. Rekasius transformation, Thowsen transformation, and partly second order Padé approximation have been proven to produce better results than other time delay terms for time delay systems. It has also been observed that the presented design method gives good results in fractional-order controller design.İÇİNDEKİLER KABUL VE ONAY ................................................................................................................i TEŞEKKÜR ............................................................................................................................ii SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ...........................................................................vi ŞEKİLLER DİZİNİ..............................................................................................................viii ÇİZELGELER DİZİNİ............................................................................................................ x ÖZET.....................................................................................................................................xii ABSTRACT .........................................................................................................................xiv 1. GİRİŞ................................................................................................................................... 1 2. KAYNAK ÖZETLERİ........................................................................................................ 3 2.1. Kesirli Dereceli Hesaplamanın Matematiksel Temeli ve Özellikleri............................... 3 2.2. Kesirli Dereceli Sistemler İçin Yaklaşımlar..................................................................... 6 2.3. Kesirli Dereceli Sistemlerin Tam Sayı Dereceli Rasyonel Yaklaşımları......................... 8 2.3.1. Sürekli Kesir Açılımı (SKA)......................................................................................... 8 2.3.2. Genel SKA Metodu ....................................................................................................... 9 2.3.3. Carlson Metodu ............................................................................................................. 9 2.3.4. Matsuda Metodu.......................................................................................................... 10 2.3.5. Oustaloup Metodu ....................................................................................................... 10 2.3.6. Charef Metodu............................................................................................................. 11 2.4. Tam Sayı Dereceli PID Kontrolörler.............................................................................. 12 2.5. Kesirli Dereceli PID Kontrolörler .................................................................................. 13 2.6. Zaman Gecikmeli Sistemler için Padé Yaklaşımı .......................................................... 15 2.6.1. Padé Yaklaşımının Matematiksel Gösterimi ............................................................... 16 2.7. Dışbükey Kararlılık Bölgesinin Ağırlık Merkezi Yöntemi ............................................ 1