Analyse mathématique et numérique de problèmes de propagation des ondes dans des milieux périodiques infinis localement perturbés

Periodic media play a major role in many applications, in particular in optics formicro and nanotechnology or in mechanics with composite materials. One of themain interesting features is the possibility offered by such media to select ranges of frequencies for which waves can or cannot propagate. In real applications, the media are not really periodic but differ from periodic media only in bounded regions (small with respect to the total size of the propagation domain). In such applications, there is a need for efficient numerical methods for computing the propagation of waves inside such structures. To reach this goal, the classical idea is to reduce the pure numerical computations to these regions and to try to take advantage of the periodic structure of the outside problem to construct artificial (but exact) boundary conditions. That is why we investigate the generalization to periodic media of the Neumann-to-Dirichlet approach which has already been well developed in homogeneous media. The new difficulty is that this NtD operator can no longer be determined explicitly and has to be computed numerically. We consider successively three specific situations of increasing complexity : the one-dimensional case, the case of a locally perturbed periodic waveguide and the more complicated case of a locally perturbed periodic 2D plane. For each situation, the approach is the same : first, we look for the solution of the problem in absorbing media and second we try to solve the problem in non absorbing media using the limiting absorption principle. We show then that the DtN operator can be characterized through the solution of local PDE cell problems, the use of analytical tools such as the Floquet-Bloch transformand the solution of operator-valued quadratic or linear equations.Les milieux périodiques présentent des propriétés intéressantes dans un grand nombre d'applications (les cristaux photoniques en optique, les matériaux composites en mécanique,...). Dans ces applications, on rencontre souvent ces milieux présentant des défauts localisés, c'est-à-dire des milieux qui diffèrent de milieux périodiques dans des régions bornées. Il nous semble intéressant de proposer des méthodes mathématiques et numériques nouvelles spécifiques au traitement des structures périodiques de grande taille, pouvant présenter des défauts localisés. Les caractéristiques du problème rendant très souvent les méthodes d'homogénéisation inapplicables, l'idée est d'exploiter la structure particulière des milieux périodiques pour restreindre les calculs au voisinage du défaut. Nous avons donc approfondi la question de trouver des conditions aux bords parfaitement transparentes. C'est pourquoi nous avons cherché à généraliser les techniques de conditions transparentes non locales, de type Neumann-to-Dirichlet, bien établies pour les milieux homogènes à l'extérieur de la perturbation. La difficulté est que lorsque le milieu extérieur est homogène, on ne dispose plus d'une représentation explicite de la solution. Nous traitons successivement trois situations de difficulté croissante : le cas mono-dimensionnel qui est un cas classique mais dont l'étude a des vertus pédagogiques, le problème du guide périodique localement perturbé et le problème plus complexe du milieu périodique dans les deux dimensions. Pour chaque situation, la démarche est la même : elle consiste tout d'abord à résoudre le problème pour un milieu absorbant puis pour un milieu non absorbant par absorption limite. Nous pouvons alors montrer que les opérateurs DtN peuvent être caractérisés en utilisant la solution de problèmes de cellule locaux, l'utilisation d'outils mathématiques tels que la Transformée de Floquet-Bloch et la solution d'équations quadratiques et linéaires à valeurs et inconnus opérateurs