Contrôle optimal d'équations différentielles avec - ou sans - mémoire

The thesis addresses optimal control problems where the dynamics is given by differential equations with memory. For these optimization problems, optimality conditions are provided; second order conditions constitute an important part of the results of the thesis. In the case - without memory - of ordinary differential equations, standard optimality conditions are strengthened by involving only the Lagrange multipliers for which Pontryagin's principle is satisfied. This restriction to a subset of multipliers represents a challenge in the establishment of necessary conditions and enables sufficient conditions to assure local optimality in a stronger sense. Standard conditions are on the other hand extended to the case - with memory - of integral equations. Pure state constraints of the previous problem have been kept and require a specific study due to the integral dynamics. Another form of memory in the state equation of an optimal control problem comes from a modeling work with therapeutic optimization as a medical application in view. Cancer cells populations dynamics under the action of a treatment is reduced to delay differential equations; the long time asymptotics of the age-structured model is also studied.La thèse porte sur des problèmes de contrôle optimal où la dynamique est donnée par des équations différentielles avec mémoire. Pour ces problèmes d'optimisation, des conditions d'optimalité sont établies ; celles du second ordre constituent une part importante des résultats de la thèse. Dans le cas - sans mémoire - des équations différentielles ordinaires, les conditions d'optimalité standards sont renforcées en ne faisant intervenir que les multiplicateurs de Lagrange pour lesquels le principe de Pontryaguine est satisfait. Cette restriction à un sous-ensemble des multiplicateurs représente un défi dans l'établissement des conditions nécessaires et permet aux conditions suffisantes d'assurer l'optimalité locale dans un sens plus fort. Les conditions standards sont d'autre part étendues au cas - avec mémoire - des équations intégrales. Les contraintes pures sur l'état du problème précédent ont été conservées et nécessitent une étude spécifique à la dynamique intégrale. Une autre forme de mémoire dans l'équation d'état d'un problème de contrôle optimal provient d'un travail de modélisation avec l'optimisation thérapeutique comme application médicale en vue. La dynamique de populations de cellules cancéreuses sous l'action d'un traitement est ramenée à des équations différentielles à retards ; le comportement asymptotique en temps long du modèle structuré en âge est également étudié