Transport Optimal Martingale et Problèmes de Maximisation d'Utilité

This PhD dissertation presents two independent research topics dealing with contemporary issues from financial mathematics, the second one being composed of two distinct problems. In the first part we study the question of martingale optimal transport, which comes from the questions of no-arbitrage optimal bounds of liabilities. We first consider the question in discret time of the existence of a martingale law with given marginals. This result was first proved by Strassen (1965) and is the starting point of martingale optimal transport. We provide a new proof of this theorem based on utility maximization technics, adapted from a proof of the fundamental theorem of asset pricing by Rogers. We then consider the question of martingale optimal transport in continuous time, introduced in the framework of lookback options by Galichon, Henry-Labordère et Touzi. We first establish a partial duality result concerning the robust superhedging of any contingent claim. For that purpose, we adapt recent technics developed by Neufeld and Nutz in the context of martingale optimal transport. In a second time we study a robust utility maximization of a contingent claim with exponential utility in the context of martingale optimal transport, and we deduce its robust utility indifference price, given that the underlying's dynamic has a constant and well-known sharpe ratio. We prove that this robust utility indifference price is equal to the robust superhedging price. The second part of this disseration considers first the problem of optimal liquidation of an indivisible asset. We study the advantage that an agent can take from having a dynamic trading strategy in an orthogonal asset. The question of its influence on the optimal liquidation rule is asked. We then provide examples illustrating our results. The last chapter of this thesis concerns the utility indifference price of a European option in the context of small transaction costs. We use technics developed by Soner and Touzi to obtain an asymptotic expansion of the Merton value functions with and without the option. These expansions are obtained by using homogenization technics. We formally obtain a system of equations verified by the values involved in the expansion and show rigorously that they are solutions. We then deduce an asymptotic expansion of the utility indifference price.Cette thèse présente deux principaux sujets de recherche indépendants, le dernier regroupant deux problématiques distinctes. Dans la première partie nous nous intéressons au problème du transport optimal martingale, dont le but premier est de trouver des bornes de non-arbitrage pour des options quelconques. Nous nous intéressons tout d'abord à la question en temps discret de l'existence d'une loi de probabilité sous laquelle le processus canonique est martingale, ayant deux lois marginales fixées. Ce résultat dû à Strassen (1965) est le point de départ pour le problème primal de transport optimal martingale. Nous en donnons une preuve basée sur des techniques financières de maximisation d'utilité, en adaptant une méthode développée par Rogers pour prouver le théorème fondamental d'évaluation d'actif. Ces techniques correspondent à une version en temps discrétisé du transport optimal martingale. Nous considérons ensuite le problème de transport optimal martingale en temps continu introduit dans le cadre des options lookback par Galichon, Henry-Labordère et Touzi. Nous commencons par établir un résultat de dualité partiel concernant la surcouverture robuste d'une option quelconque. Pour cela nous adaptons au transport optimal martingale des travaux récents de Neufeld et Nutz. Nous étudions ensuite le problème de maximisation d'utilité robuste d'une option quelconque avec fonction d'utilité exponentielle dans le cadre du transport optimal martingale, et en déduisons le prix d'indifférence d'utilité robuste, sous une dynamique où le ratio de sharpe est constant et connu. Nous prouvons en particulier que ce prix d'indifférence d'utilité robuste est égal au prix de surcouverture robuste. La deuxième partie de cette thèse traite tout d'abord d'un problème de liquidation optimale d'un actif indivisible. Nous étudions la profitabilité de l'ajout d'une stratégie d'achat et de vente d'un actif orthogonal au premier sur la stratégie de liquidation optimale de l'actif indivisible. Nous fournissons ensuite quelques exemples illustratifs. Le dernier chapitre de cette thèse concerne le problème du prix d'indifférence d'utilité d'une option européenne en présence de petits coûts de transaction. Nous nous inspirons des travaux récents de Soner et Touzi pour obtenir un développement asymptotique des fonctions valeurs des problèmes de Merton avec et sans l'option. Ces développements sont obtenus en utilisant des techniques d'homogénisation. Nous obtenons formellement un système d'équations vérifiées par les composantes du problème et nous vérifions que celles-ci en sont bien solution. Nous en déduisons enfin un développement asymptotique du prix d'indifférence d'utilité souhaité