Quelques problèmes additifs : bases, pseudo-puissances et ensembles k-libres

Widely studied in N or Z, we are interested in additive bases in infinite abelian groups. We get some results about the functions E, X and S, which caracterize the behaviour of a basis when we remove an element. We also study the set A of pseudo s-th powers, which is an additive basis of order s+1. We wonder what is the minimal size of an additive complement of sA, that is a set B such that sA+B contains all large enough integers. With respect to this problem, we prove quite precise theorems which are tantamount to asserting that a threshold phenomenon occurs. Finally, we establish the maximal size of a k-free set in Z/nZ. The study of this quantity strongly depends on the arithmetical relative properties of n and k. That is why we use different methods depending on cases. In particular, we show a result on combinatorial trees for the general case.Habituellement étudié dans N ou Z, on s'intéresse aux bases additives dans les groupes abéliens infinis. On obtient des résultats sur les fonctions E, X et S, qui caractérisent le comportement d'une base lorsqu'on lui enlève un élément. On étudie également l'ensemble A des pseudo-puissances s-ièmes. Celles-ci forment presque sûrement une base additive d'ordre s+1. On cherche à affiner ce résultat en déterminant des compléments additifs de sA de taille minimale, c'est-à-dire des ensembles B tels que sA+B contient presque sûrement tout entier suffisamment grand. Enfin, nous montrons quelle est la taille maximale d'un ensemble k-libre dans Z/nZ. La contrainte modulaire joue ici un rôle prépondérant. Les méthodes employées sont très différentes, selon la relation arithmétique entre k et n. En particulier, nous démontrons un résultat sur des arbres combinatoires, dans l'étude du cas général