De la géométrie sans figure, est-ce possible ? L'exemple de la Caractéristique Géométrique de G.W.Leibniz

"Les Méthodes Géométriques auxquelles je songe sont au nombre de deux ; la première consiste à exprimer complètement une figure en n’utilisant que des caractères, sans l’aide d’explications verbales et sans y adjoindre de figure ; la seconde consiste à le faire en n’utilisant que des mots, sans l’aide d’aucun autre caractère et sans l’aide d’aucune figure" G.W.Leibniz, La caractéristique géométrique.Pour Leibniz, les deux méthodes se valent et chacune a sa propre utilité et ses propres faiblesses. La principale distinction entre les deux réside dans leur rapport à l’objet mathématique. La première méthode est nettement plus détachée et elle autorise à traiter une question sans être au fait de la nature des objets que l’on manipule. Face à l’abstraction de cette approche, la méthode verbale assure quant à elle la présence constante de la signification des objets manipulés. Cependant, l’utilisation de termes parfois empruntés à la langue courante peut prêter à confusion. Leibniz relève cette difficulté qu’il oppose à l’utilisation des symboles de la première méthode. Pour Leibniz, le plus dommageable dans la méthode verbale est la perte de clarté dans les connexions logiques entre les différentes étapes de la résolution d’un problème. Face à ce constat, il écrira que seule une langue « philosophique », à la fois rigoureuse dans ses objets et dans ses liaisons, pourrait satisfaire pleinement le savant. Reste que, en dépit de ses imperfections, seul le langage permet de décrire complètement un problème. L’utilisation de figures, si elle permet de fixer dans l’esprit certaines données, ne saurait suffire à établir entièrement un énoncé car, comme le souligne Leibniz, non seulement la figure ne représente pas tout, mais en plus elle doit rester lisible à celui qui l’étudie.À travers quelques passages, nous nous proposons de présenter cette nouvelle théorie que Leibniz nomme la Caractéristique Géométrique, ou méthode des caractères, qui annonce les développements de l’Analysis Situs et de la topologie