Plans discrets substitutifs

A tiling is a covering of the plane by tiles which do not overlap. We are mostly interested in edge-to-edge rhombus tilings, this means that the tilesare unit rhombuses and any two tiles either do not intersect at all, intersect on a single common vertex or along a full common edge. Substitutions are applications that to each tile associate a patch of tiles (which usually has the same shape as the original tile but bigger), a substitution can be extended to tilings by applying it to each tile and gluing the obtained patches together. Substitutions are a way to grow and define tilings with a strong hierarchical structure. Discrete planes are edge-to-edge rhombus tilings with finitely many edge directions that can be lifted in RR^n and which approximate a plane in RR^n, such a tiling is also called planar. Note that discrete planes are a relaxed version of cut-and-project tilings.In this thesis we mostly study edge-to-edge substitution rhombus tilings lifted in RR^n. We prove that the Sub Rosa tilings are not discrete planes, the Sub Rosa tilings are edge-to-edge substitution rhombus tilings with n-fold rotational symmetry that were defined by Jarkko Kari and Markus Rissanen [KR16] and which were good candidates for being discrete planes. We define a new family of tilings which we call the Planar Rosa tilings which are subsitution discrete planes with n-fold rotational symmetry. We also study the multigrid method which is a construction for cutand-project tiling and we give an explicit construction for cut-and-project rhombus tilings with global n-fold rotational symmetryUn pavage est un recouvrement du plan par des tuiles qui ne se chevauchent pas. Nous nous intéressons principalement aux pavages dont les tuiles sont des losanges unitaires et qui sont exacts c’est à dire que si on prend deux tuiles dans le pavage soit elles ne se touchent pas, soit elles ont un unique sommet en commun, soit elles ont une arête entière en commun. Les substitutions sont des applications qui à chaque tuile associent un ensemble de tuiles appelé motif (dont la forme est habituellement la même que celle de la tuile initiale mais en plus grand), une substitution peut être étendue aux pavages en l’appliquant à chaque tuile séparément et en recollant les motifs obtenus. Les substitutions permettent de construire des pavages avec une forte structure hiérarchique. Les plans discrets sont des pavages exacts par losanges unitaires avec un nombre fini de directions d’arêtes n que l’on peut relever dans RR^n et qui lorsqu’on les relève approximent un plan. On dit aussi pavages planaires pour plans discrets. Notons que les plans discrets sont une version relâchée des pavages coupe-et-projections.Dans cette thèse nous étudions principalement les pavages substitutifs par losange relevés dans RR^n. Nous prouvons que les pavages Sub Rosa ne sont pas des plans discrets, les pavages Sub Rosa sont des pavages substitutifs par losange avec symétrie rotationnelle d’ordre n qui ont été définis par Jarkko Kari et Markus Rissanen [KR16] et qui étaient de bons candidats pour être des plans discrets. Nous définissons une nouvelle famille de pavages que l’on appelle les pavages Planar Rosa qui sont des plans discrets substitutifs avec symétrie rotationnelle d’ordre n. Nous étudions aussi la méthode de la multigrille qui permet de construire des pavages coupe-et-projection. On utilise cette méthode pour donner une construction explicite pour des pavages coupe-et-projection par losanges avec symétrie rotationnelle globale d’ordre n