Backbone colouring: tree backbones with small diameter in planar graphs

Given a graph $G$ and a spanning subgraph $T$ of $G$, a {\it backbone $k$-colouring} for $(G,T)$ is a mapping $c:V(G)\to\{1,\ldots,k\}$ such that $|c(u)-c(v)|\geq 2$ for every edge $uv\in E(T)$ and $|c(u)-c(v)|\geq 1$ for every edge $uv\in E(G)\setminus E(T)$. The {\it backbone chromatic number} $BBC(G,T)$ is the smallest integer $k$ such that there exists a backbone $k$-colouring of $(G,T)$. In 2007, Broersma et al. \cite{BFG+07} conjectured that $BBC(G,T)\leq 6$ for every planar graph $G$ and every spanning tree $T$ of $G$. In this paper, we prove this conjecture when $T$ has diameter at most four.Pour un graphe $G$ et un sous-graphe $T$ de $G$, une {\it $k$-coloration dorsale} de $(G,T)$ est une application $c:V(G)\to\{1,\ldots,k\}$ telle que $|c(u)-c(v)|\geq 2$ pour tout arête $uv\in E(T)$ et $|c(u)-c(v)|\geq 1$ pour toute arête $uv\in E(G)\setminus E(T)$. Le {\it nombre chromatique dorsal} $BBC(G,T)$ est le plus petit entier $k$ tel qu'il existe une $k$-coloration dorsale de $(G,T)$. En 2007, Broersma et al. \cite{BFG+07} ont conjecturé que $BBC(G,T)\leq 6$ pour tout graphe planaire $G$ et tout arbre couvrant $T$ de $G$. Dans ce rapport, nous montrons cette conjecture lorsque $T$ est de diamétre au plus 4