Propriétés combinatoires et modèle-théoriques des groupes

Our work here relates to certain routes for the construction of new groups, and in particular, of counter-examples to the Cherlin-Zilber conjecture. We managed to find an answer for the stability of existentially closed CSA- groups. We build a group word in two variables that has the independence property relatively to the class of torsion-free hyperbolic groups. We deduced that the corresponding equation gives the independence property of existentially closed CSA groups which in turn implies their instability. Moreover, we demonstrate that group words, and in particular quantifierfree definable sets, define stable sets in bounded balls of free products of groups using a finite version of Ramsey’s theorem. Finally, we introduce certain groups constructed as special towers of free products and HNN-extensions.Notre travail ici concerne certaines pistes pour des constructions nouveaux groupes, et en particulier de contre-exemples à la conjecture de Cherlin-Zilber. On parvient à trouver une réponse pour la stabilité de groupes CSA existentiellement clos. On exhibe un mot de groupe en deux variables qui a la propriété d’indépendance par rapport à la classe de groupes hyperboliques sans torsion. On en déduit que l’équation correspondante donne la propriété d’indépendance des groupes CSA existentiellement clos, ce qui en particulier implique leur instabilité. En outre, on prouve que les équations, et en particulier les ensembles définissables sans quantificateurs, définissent des ensembles stables dans les boules bornées des produits libres de groupes, en utilisant la version finie du théorème de Ramsey. Enfin, on introduit certains groupes construits comme tours particulières de produits libres et d’extensions HNN