Problèmes aux limites dispersifs linéaires non homogènes, application au système d’Euler-Korteweg

The main aim of this thesis is to obtain well-posedness results for boundary value problems especially with non-homogeneous boundary conditions. The approach that we chose here is to adapt technics from the classical theory of hyperbolic boundary value problems (for which we give a brief survey in the first chapter, and a slight generalization). In chapter 3 we delimitate a class of linear dispersive equations, and we obtain well-posedness results for corresponding boundary value problems in chapter 4.The leading thread of this memoir is the Euler-Korteweg model. The boundary value problem for a linearized version is investigated in chapter 2, and the Kato-smoothing effect is proved (also for the linearized model) in chapter 3. Finally, the numerical analysis of the model is made in chapter 5. To begin with, we use the previous abstract results to show a simple way of deriving the so-called transparent boundary conditions for the equations outlined in chapter 3, and those conditions are then used to numerically solve the semi-linear Euler-Korteweg model. This allow us to observe the stability and instability of solitons, as well as a finite time blow up.Le but principal de cette thèse est d'obtenir des résultats d'existence et d'unicité pour des équations aux dérivées partielles dispersives avec conditions aux limites non homogènes. L'approche privilégiée est l'adaptation de techniques issues de la théorie classique des problèmes aux limites hyperboliques (que l'on rappelle au chapitre 1, en améliorant légèrement un résultat). On met en évidence au chapitre 3 une classe d'équations linéaires qu'on peut qualifier de dispersives satisfaisant des critères “minimaux”, et des résultats d'existence et d'unicité pour le problème aux limites associé à celles-ci sont obtenus au chapitre 4.Le fil rouge du mémoire est le modèle d'Euler-Korteweg, pour lequel on aborde l'analyse du problème aux limites sur une version linéarisée au chapitre 2. Toujours pour cette version linéarisée, on prouve un effet Kato-régularisant au chapitre 3. Enfin l'analyse numérique du modèle est abordée au chapitre 5. Pour cela, on commence par utiliser les résultats précédents pour décrire une manière simple d'obtenir les conditions aux limites dites transparentes dans le cadre des équations précédemment décrites puis on utilise ces conditions aux limites pour le modèle d'Euler-Korteweg semi-linéaire afin d'observer la stabilité/instabilité des solitons, ainsi qu'un phénomène d'explosion en temps fini