Développement d'un algorithme multirésolution adaptatif tridimensionnel pour la résolution des équations aux dérivées partielles paraboliques. Application aux instabilités thermodiffusives de flamme.

This thesis is concerned with the development of an adaptive numerical algorithm for solving parabolic PDEs in Cartesian geometry in one, two and three space dimensions and the application to thermodiffusive flame instabilities. Applying a finite volume discretization with explicit time integration, both of second order, we employ an adaptive multiresolution scheme to represent the solution on locally refined nested grids. The fluxes are evaluated on the adaptive grid. A dynamical adaption strategy to advance the grid in time and to follow the time evolution of the solution directly exploits the multiresolution representation. The latter aims at representing the solution as values on a coarse grid plus a series of differences in predicting the values of the next finer grid in the hierarchy of nested dyadic grids. Data compression is obtained by removing differences that are smaller than a prescribed tolerance. We validate this method by solving several test problems in one, two and three space dimensions, like convection-diffusion and viscous Burgers equations, in order to show its accuracy and its efficiency. For the linear convection-diffusion equation, we find a theoretical relation between the prescribed tolerance and the number of grid levels which enables us to maintain the accuracy order of the finite volume scheme, while reducing CPU time and memory requirements. This result is confirmed by numerical computations. We then apply the adaptive method to study the stability behavior of premixed flames in the thermo-diffusive approximation. We determine the limit between stable and pulsating planar flames and compare it to previous work on the subject, both theoretical and numerical. The numerical computations confirm the theoretical results for large values of the activation energy. We also show that non-pulsating planar flames can exist when heat conduction largely exceeds the diffusion of chemical reactants. We also perform numerical simulations of flame balls and show that their interaction with adiabatic walls creates a phenomenon which presents an analogy with capillarity for fluid droplets. The last result concerns the interaction of a flame ball with a vortex, which opens perspectives for the adaptive numerical simulation of flame balls in a moving fluid.Le but de cette thèse est le développement d'un algorithme adaptatif pour la résolution des équations aux dérivées partielles paraboliques en géométrie cartésienne pour des problèmes en dimension un, deux et trois et l'application aux instabilités de flamme dans l'approximation thermodiffusive. Partant d'un schéma de discrétisation de type volumes finis explicite, nous appliquons une décomposition adaptative multi-résolution pour représenter la solution sur un maillage localement raffiné. Les flux numériques sont calculés directement sur la grille adaptative. Afin de suivre l'évolution de la solution au cours du temps, nous utilisons une stratégie d'adaptation dynamique basée sur la représentation des données en multi-résolution. Cette dernière consiste à représenter la solution à l'aide des valeurs sur une grille grossière, plus l'ensemble des différences de prédiction entre les valeurs d'une grille donnée et celles d'une grille plus fine, l'ensemble constistuant une hiérarchie de grilles emboîtées. La compression des données s'obtient en supprimant les différences inférieures à une certaine tolérance fixée. Nous validons cette méthode par la résolution numérique d'équations de référence, comme l'équation de convection-diffusion ou l'équation de Burgers diffusive, afin de montrer la précision de la méthode et son efficacité par rapport au même schéma volumes finis sur grille fine. En particulier, pour l'équation linéaire de convection-diffusion, nous donnons une relation entre la tolérance et le nombre d'échelles qui permet de réduire le temps de calcul et la place mémoire nécessaires tout en maintenant l'ordre de précision du schéma volumes finis. Ce résultat est confirmé par le calcul numérique. Nous utilisons ensuite la méthode adaptative pour étudier les instabilités de flammes pré-mélangées dans l'approximation thermodiffusive. En particulier, pour les flammes planes, nous déterminons la limite d'apparition des flammes pulsantes, limite que nous comparons aux données de la littérature, tant numériques que théoriques. Nos calculs confirment la théorie pour les grandes valeurs de l'énergie d'activation. Nous montrons également numériquement l'existence de flammes planes non-pulsantes lorsque la conduction de la chaleur est très supérieure à la diffusion des réactants. Nous étudions également les ballons de flamme et montrons que, lorsqu'ils interagissent avec une paroi adiabatique, leur comportement présente une analogie avec la capillarité en mécanique des fluides. Le dernier résultat concerne l'interaction d'un ballon de flamme avec un tourbillon. Il ouvre des perspectives sur la simulation adaptative des ballons de flamme dans un fluide en mouvement