Résonances pour des Guides d’Ondes Acoustiques Multistratifiés.Quelques Problèmes Inverses pour l’équation de la chaleur.

Ce mémoire présente la majeure partie de mes travaux de recherche de- puis mon arrivée à l’Université de Provence, fin 1992. Ces travaux, détaillés ici, se composent de deux parties indépendantes. La partie II est divisée en trois chapitres qui peuvent être lus pratiquement indépendamment.La première partie porte sur l’étude de la propagation d’ondes acous- tiques dans une bande multistratifiée. C’est un projet proposé par Y. Der- menjian quand je suis arrivé dans la "jeune équipe" à l’université de Pro- vence. A ce moment-là des travaux, Y. Dermenjian et E. Croc avaient établi le principe d’absorption limite pour l’opérateur d’ondes acoustiques dans une bande multistratifiée constituée de trois régions homogènes. J’ai fourni alors des représentations numériques de quelques ondes appelées "modes propres généralisés". Plus tard, en collaboration avec Y. Dermenjian et Boris Vain- berg, nous avons établi le prolongement méromorphe de la résolvante de l’opérateur de diffusion des ondes, avec ses conséquences. Puis j’ai publié un résultat sur la distribution des valeurs propres d’un tel opérateur.Les sections 1, 2, 3, 4 se basent sur l’article [8]. J’y ai corrigé quelques er- reurs sans conséquences, notamment la définition de D(A) (noté H dans [8, (1.3)]). J’y ai aussi ajouté un petit complément en précisant le fait qu’en un seuil λ0, les résidus R1(λ0 + i0) et R1(λ0 − i0) coincident, au contraire de R2(λ0 +i0) et R2(λ0 −i0), sauf exception comme le cas de la bande stratifiée non perturbée. J’ai repris les détails de certaines démonstrations de [8] qui me paraissent assez originales, et laissé ceux d’autres preuves plus classiques. La section 5 se base sur le résultat de l’article [13] qui présente un résultat assez peu usuel, ainsi qu’une partie de la démonstration, qui ne me semble pas très standard.La deuxième partie porte sur une inégalité de Carleman et des problèmes inverses, pour la même équation parabolique. Elle est découpée en trois cha- pitres. L’arrivée dans notre équipe d’Assia Benabdallah et de Jérome Le Rousseau au début des années 2000 a permis une très bonne animation scien- tifique ainsi qu’une fructueuse collaboration sur des sujets riches comme le contrôle des solutions d’équations de type parabolique avec coefficient de conductivité discontinu, ou des problèmes inverses associés à de telles équa- tions, incluant la technique des inégalités de Carleman pour l’équation de la chaleur. J’ai publié en 2008 le résultat d’inégalité de Carleman multi- dimensionnel étendant les résultats du papier originel Dubova-Osses-Puel en 2002. Le résultat a cependant été complètement dépassé par une nette amé- lioration de J. Le Rousseau et L. Robbiano l’année suivante, basée sur une approche différente. Toujours en 2008, j’ai également publié le résultat de problème inverse basé sur la méthode inventée par Bukgheim et Klibanov. Pour une raison chronologique, la démonstration que j’y élabore utilise pour l’inégalité de Carleman la version "Dubova-Osses-Puel" et non la mienne, où les hypothèses, quoique plus faibles, sont plus longues à décrire, et où la démonstration est techniquement plus sophistiquée. Il est clair que c’est maintenant la version "Le Rousseau-Robbiano" qu’il faut considérer, la seuleVIà notre portée pour l’instant, même si son emploi n’est pas direct. Plus récem- ment, sous l’impulsion de Hiroshi Isozaki, j’ai étudié le problème de Caldéron pour l’équation de la chaleur, par des méthodes très différentes de celles pour les questions précédentes. C’est pourquoi les trois chapitres de cette partie sont liés mais j’ai fait en sorte qu’on puisse les lire indépendamment. Le chapitre 1 se base sur l’article [42], qui reprend les résultats de [28] en éten- dant les hypothèses sur le coefficient de conductivité. Les fonctions poids de Carleman sont construites à partir de fonctions spatiales βi(x), comme dans le système de notations de [28] ou de [42]. La relation entre les β (ou βi) et la fonction spatiale φ du système de notations de [39] est explicitée.Le chapitre 2 se base sur l’article [43]. Pour l’inégalité de Carleman utilisée, c’est la fonction φ précédente qui est employée. Le chapitre 3 porte sur le problème de Calderón, version équation de la chaleur. Il s’agit de donner une méthode de reconstruction de l’interface où la conductivité est discontinue, connnaissant la conductivité de fond ("background"). Y sont présentés deux résultats. Le premier concerne une conductivité indépendante du temps, et la méthode consiste à revenir au cas elliptique avec un potentiel dépendant d’un grand paramètre. Le deuxième se place dans le cadre difficile où la conductivité dépend du temps, la dimension d’espace étant un. La preuve du résultat principal utilise une méthode d’ansatz ainsi qu’une estimation d’énergie