Étude mathématique de quelques équations cinétiques collisionnelles

We are interested in this PhD in the study of solutions to the Boltzmann equation (elastic or inelastic) and the Landau equation. The axis of this study are the regularity and asymptotic behavior of the solutions, and we systematically search for quantitative results. In the first part, we consider on the one hand the spatially homogeneous solutions to the Boltzmann equation, for which we prove propagation of regularity and damping of singularities for short-range interactions, as well as propagation of integrability bounds for long-range interactions. On the other hand, we quantify the positivity of the spatially inhomogeneous solutions, under regularity assumptions. In the second part, we give spectral gap and coercivity estimates for the linearized Boltzmann and Landau operators, and we prove exponential convergence to equilibrium with explicit rate for a gas of spatially homogeneous hard spheres. In the third part, we consider the spatially homogeneous Boltzmann equation for granular gases, for which we construct solutions for realistic models of inelasticity (however strongly non-linear) and discuss the possibility of cooling in finite time or asymptotically. We then show the existence of self-similar profils, and study the behavior of solutions for large velocities. In the forth part, we use a semi-discretization of the Boltzmann operator in order to propose fast numerical schemes based on the spectral method or discrete velocity models.On s'intéresse dans cette thèse à l'étude des solutions des équations de Boltzmann (élastiques et inélastiques) et Landau. Les axes de cette étude sont la régularité des solutions et leur comportement asymptotique, et nous nous attachons systématiquement à quantifier les résultats obtenus. Dans la première partie, d'une part nous considérons les solutions spatialement homogènes de l'équation de Boltzmann, pour lesquelles nous montrons la propagation de la régularité et la décroissance des singularités pour des interactions à courte portée, et la propagation de bornes d'intégrabilité pour des interactions à longue portée. D'autre part, nous quantifions la positivité des solutions spatialement inhomogènes, sous des hypothèses de régularité. Dans la deuxième partie, nous donnons des estimations de trou spectral et de coercivité sur les opérateurs de Boltzmann et Landau linéarisés, puis nous prouvons la convergence exponentielle vers l'équilibre avec taux explicite pour un gaz de sphères dures spatialement homogènes. Dans la troisième partie, nous considérons l'équation de Boltzmann spatialement homogène pour les gaz granulaires, pour laquelle nous construisons des solutions pour des modèles d'inélasticité réalistes (mais fortement non-linéaires) et discutons la possibilité de « gel » en temps fini ou asymptotiquement. Puis nous montrons l'existence de profils auto-similaires et étudions le comportement de la solution pour les grandes vitesses. Dans la quatrième partie, nous utilisons une semi-discrétisation de l'opérateur de Boltzmann pour proposer des schémas numériques rapides basés sur les méthodes spectrales ou les méthodes par discrétisation des vitesses