Applications du transport optimal à des problèmes de limites de champ moyen

In this thesis we study some particle approximation methods of solutions to partial differential equations giving the macroscopic state of some physical systems. They consist in introducing a large number N of fictive particles evolving according to a system of ordinary or stochastic differential equations, in some sense easier to solve than the macroscopic equation; the state of this system is given by a probability measure called empirical measure. The validity of the method is given by the convergence, as N tends to infinity, of this empirical measure towards the original macroscopic solution, called mean field limit. We mainly look for explicit estimates on this convergence, thus quantifying the accuracy ofthe approximation.In this framework we study the approximation of Vlasov and Euler transport equations by some deterministic interacting particle systems. The convergence of the method turns into a stability issue on solutions, which we solve by some contraction type properties for some (Wasserstein) distances linked with measure optimal transportation. We also derive a similar contraction property for scalar conservation laws.We also study the approximation of McKean-Vlasov equations by stochastic particle systems. We give error bounds on it by means of coupling technics, propagation of chaos estimates and deviation or concentration inequalities.In a more systematic way we consider such concentration inequalities on probability measures, and their links with transport inequalities (between Wasserstein distances and entropy) and logarithmic Sobolev inequalities. In particular we derive such inequalities for some classes of laws of dependent variables.Nous étudions des méthodes d'approximation particulaire de solutions d'équations aux dérivées partielles décrivant l'état macroscopique de certains systèmes physiques. Elles consistent en l'introduction d'un grand nombre N de particules fictives évoluant selon des équations différentielles couplées, ordinaires ou stochastiques, dans un sens plus simple à résoudre que l'équation macroscopique; l'état de ce système de particules est décrit par une mesure de probabilité, dite mesure empirique. La validité de la méthode est donnée par la convergence, quand N tend vers l'infini, de cette mesure empirique vers la solution macroscopique originale, appelée limite de champ moyen. Nous cherchons principalement à en donner des estimations explicites, quantifiant ainsi la précision de l'approximation.Dans ce cadre nous étudions l'approximation des équations de transport de Vlasov et d'Euler par des systèmes de particules déterministes en interaction. Le problème de la convergence de la méthode se ramène à un problème de stabilité de solutions que nous traitons par des propriétés de type contraction pour des distances (de Wasserstein) liées à la théorie du transport optimal de mesures. Nous établissons aussi une propriété analogue de contraction pour des lois de conservation scalaires. Nous étudions également l'approximation d'équations de diffusion de McKean-Vlasov par des systèmes de particules stochastiques. Nous en donnons l'erreur de manière quantitative à l'aide de techniques de couplage, d'estimations de propagation du chaos et d'inégalités de concentration ou de déviation.De façon plus systématique nous nous intéressons à de telles inégalités de concentration pour des mesures de probabilité et à leurs relations avec des inégalités de transport (liant distances de Wasserstein et entropie) et de Sobolev logarithmiques. En particulier nous établissons de telles inégalités pour certaines classes de lois de variables dépendantes