Parallel scheduling of task trees with limited memory

This paper investigates the execution of tree-shaped task graphs using multiple processors. Each edge of such a tree represents some large data. A task can only be executed if all input and output data fit into memory, and a data can only be removed from memory after the completion of the task that uses it as an input data. Such trees arise, for instance, in the multifrontal method of sparse matrix factorization. The peak memory needed for the processing of the entire tree depends on the execution order of the tasks. With one processor the objective of the tree traversal is to minimize the required memory. This problem was well studied and optimal polynomial algorithms were proposed. Here, we extend the problem by considering multiple processors, which is of obvious interest in the application area of matrix factorization. With multiple processors comes the additional objective to minimize the time needed to traverse the tree, i.e., to minimize the makespan. Not surprisingly, this problem proves to be much harder than the sequential one. We study the computational complexity of this problem and provide inapproximability results even for unit weight trees. We design a series of practical heuristics achieving different trade-offs between the minimization of peak memory usage and makespan. Some of these heuristics are able to process a tree while keeping the memory usage under a given memory limit. The different heuristics are evaluated in an extensive experimental evaluation using realistic trees.Dans ce rapport, nous nous intéressons au traitement d'arbres de tâches par plusieurs processeurs. Chaque arête d'un tel arbre représente un gros fichier d'entrée/sortie. Une tâche peut être traitée seulement si l'ensemble de ses fichiers d'entrée et de sortie peut résider en mémoire, et un fichier ne peut être retiré de la mémoire que lorsqu'il a été traité. De tels arbres surviennent, par exemple, lors de la factorisation de matrices creuses par des méthodes multifrontales. La quantité de mémoire nécessaire dépend de l'ordre de traitement des tâches. Avec un seul processeur, l'objectif est naturellement de minimiser la quantité de mémoire requise. Ce problème a déjà été étudié et des algorithmes polynomiaux ont été proposés. Nous étendons ce problème en considérant plusieurs processeurs, ce qui est d'un intérêt évident pour le problème de la factorisation de grandes matrices. Avec plusieurs processeurs se pose également le problème de la minimisation du temps nécessaire pour traiter l'arbre. Nous montrons que comme attendu, ce problème est bien plus compliqué que dans le cas séquentiel. Nous étudions la complexité de ce problème et nous fournissons des résultats d'inaproximabilité, même dans le cas de poids unitaires. Nous proposons plusieurs heuristiques qui obtiennent différents compromis entre mémoire et temps d'exécution. Certaines d'entre elles sont capables de traiter l'arbre tout en gardant la consommation mémoire inférieure à une limite donnée. Nous analysons les performances de toutes ces heuristiques par une large campagne de simulations utilisant des arbres réalistes