Non-abelian reciprocity laws

21世紀の数学は,非アーベル的数学であるといわれている.アーベル群とかかわる数学をアーベル的数学といったのはベェイユである.アーベル群対非アーベル群の対比は,自然現象や工学的現象での線形対非形の対比にたとえられる.例えば,非線形制御を扱うのにそれを線形制御で近似して議論する場合があるが,それは丁度可解群がアーベル群の有限ステップで得られることに対応している.しかし,非線形をそれ自身で扱わなければならない場合があるように,アーベル群の範疇では扱えない群がある.その真に非アーベルな群を単純群というが,その最初の例が5次の交代群A_5である（単純群は,決して単純な群ではない）.この論説では,S_5をガロア群にもつ5次方程式x^5−x−1=0の非アーベル性を検討する.One of the main issues of mathematics in 21st century is a development of “non-abelian mathematics” in contrast to abelian mathematics which is first named by A. Weil. This contrast between abel and non-abel may be considered in engineering to the contrast between linear and non-linear. For instance the approximation of non-linear control by linear control is corresponded to the structure of the solvable groups consisting of finite abelian steps. We remark that any problems cannnot be solved by such linearlization or abelianization. In this article we study non-abelian properties of the quintic equationx^5−x−1=0of which Galois group over Q is the symmetric group S_5. Towards a non-abelian reciprocity law, we describe a necessary and sufficient condition when a prime splits completely in Q(θ) with a root θ of x^5−x−1, and show a table of the splitting primes p < 10^6