Two Notions of Hyperbolicity in Complex Codimension One for Compact Complex Manifolds

Cette thèse est consacrée à l'introduction de deux notions nouvelles d'hyperbolicité pour les variétés complexes compactes lisses, ainsi qu'à l'introduction de deux notions nouvelles de positivité pour les classes de cohomologie de De Rham. D'après S. Kobayashi, toute variété complexe, qui n'est a priori supposée ni kählérienne ni compacte, est appelée hyperbolique si sa pseudo-distance de Kobayashi est une distance. En utilisant la propriété de contraction des distances, on voit que toute application holomorphe du plan complexe C dans une variété Kobayashi-hyperbolique est constante. Réciproquement, Brody a démontré qu'une variété complexe compacte X est hyperbolique au sens de Kobayashi si toute application holomorphe de C dans X est constante. La conjecture de Kobayshi-Lang prédit que le fibré canonique K_X de toute variété complexe compacte Kobayashi-hyperbolique X devrait être ample. En particulier, grâce au théorème de plongement de Kodaira, toute telle variété devrait être projective, donc aussi kählérienne. M. Gromov a introduit en 1991 la notion de variété kählérienne hyperbolique en demandant l'existence d'une métrique kählérienne dont le relèvement au revêtement universel est une forme différentielle d-exacte ayant un potentiel borné. Gromov montre, entre autres, que toute variété kählérienne hyperbolique est Kobayashi hyperbolique. De plus, il est maintenant connu que toute variété kählérienne hyperbolique au sens de Gromov est projective. En prenant comme point de départ l'observation de phénomènes d'hyperbolicité sur de nombreux exemples de variétés complexes compactes non kählérienne, l'objectif principal de cette thèse est d'étendre la théorie de l'hyperbolicité au contexte non kählérien. Plus précisément, nous proposons une théorie dans laquelle les courbes entères sont remplacées par des applications holomorphes de C^n-1 dans les variétés complexes n-dimensionnelles X et les formes différentielles de bidegré (1, 1) sur X sont remplacées par de telles formes de bidegré (n - 1, n - 1). Ainsi, on commence par introduire la notion d'hyperbolicité équilibrée généralisant l'hyperbolicité kählérienne de Gromov au moyen des métriques équilibrées introduites par Gauduchon en 1977. On généralise ensuite l'hyperbolicité au sens de Brody en introduisant la notion d'hyperbolicité divisorielle. Pour ce faire, nous dégageons une notion de croissance sous-exponentielle pour les applications holomorphes de C^n-1 dans les variétés complexes compactes n-dimensionnelles X que nous considérons comme l'une de nos principales observations. Notre premier résultat principal affirme que toute variété équilibrée hyperbolique est divisoriellement hyperbolique. L'introduction de deux notions de positivité pour les classes de cohomologie de De Rham de degré 2, que nous appelons classes divisoriellement kählériennes et divisoriellement nef et dont nous étudions les propriétés de base, a pour but d'initier la construction d'une théorie de la positivité pour les variétés complexes compactes hyperboliques dans un ou l'autre de nos deux sens nouveaux introduits dans cette thèse. En particulier, nous conjecturons que le fibré canonique K_X de toute variété hyperbolique X devrait être au moins divisoriellement nef.The goal of this thesis is to introduce two new notions of hyperbolicity for compact complex manifolds and two new notions of positivity for real De Rham cohomology classes of degree 2 on such manifolds. According to S. Kobayashi, a complex manifold, that need not be either Kähler or compact, is said to be hyperbolic if its Kobayashi pseudo-distance is a distance. Using the distance-decreasing property of holomorphic maps, one shows that any holomorphic map from the complex plane C to a Kobayashi hyperbolic manifold is constant. Conversely, Brody proved that a compact complex manifold X is hyperbolic in the sense of Kobayashi if any holomorphic map from C to X is constant. The Kobayshi-Lang conjecture predicts that the canonical bundle K_X of any Kobayashi-hyperbolic compact complex manifold X ought to be ample. In particular, the manifold X would be projective ecao in this case by Kodaira's Embedding Theorem. On the other hand, Gromov introduced the notion of K ahler hyperbolicity for compact Kähler manifolds X. Whenever X is Kähler hyperbolic, he proved that X is also Kobayashi hyperbolic and its canonical bundle K_X is big. It is now known that K_X is even ample, hence X is projective, The main goal of this thesis is to propose a hyperbolicity theory for compact complex manifolds in which entire maps are replaced by non-degenerate holomorphic maps from C^n-1 to n-dimensional compact complex manifolds X and differential forms of bidegree (1, 1) on X are replaced by (n - 1, n - 1)-forms. We start by introducing the notion of balanced hyperbolicity as a generalisation of Kâhler hyperbolicity. We go on to introduce the notion of divisorial hyperbolicity as a generalisation of the Brody hyperbolicity. Our first main result asserts that any balanced hyperbolic compact complex manifold is also divisorially hyperbolic. We also introduce the notions of divisorially Kähler and divisorially nef De Rham cohomology classes of degree 2 and study their properties. They are intended to kickstart a positivity theory in bidegree (n - 1, n - 1) for the compact complex n-dimensional manifolds that are hyperbolic in our two new senses. In particular, we conjecture that the canoncal bundle KX of any such hyperbolic manifold X ought to be at least divisorially nef