Norms on the group of contactomorphisms and contactification of starshaped domains, their géodésies and their translated characteristics

Nous étudions différentes normes sur le groupe des contactomorphismes d’une variété de contact. Pour tout entier n plus grand que 1, grâce à la technique des fonctions génératrices, nous caractérisons certaines géodésiques du groupe des contactomorphismes à support compact de R^2n x S^1 que l’on munit de sa structure de contact standard. Nous calculons explicitement la norme d’une grande famille de contactomorphismes du cotangent unitaire du tore en utilisant un théorème d’intersections de lagrangiennes exactes du cotangent avec la section nulle. Enfin nous étudions la distribution caractéristique des hypersurfaces contenues dans la contactisation d’une variété symplectique exacte. Cela nous permet de définir un ensemble de valeurs pour les ouverts de la variété de contact considérée. Cet ensemble de valeurs contient des invariants de contact et généralise la notion du spectre d’un ouvert d’une variété symplectique exacte.We study different norms on the group of contactomorphisms of a contact manifold. For every integers n greater than 0, using generating function techniques, we characterise some geodesics of the group of compactly supported contactomorphisms of R2n x S^1 endowed with its standard contact structure. We compute explicitely the norm of a big family of contactomorphisms of the unitary cotangent of the torus using a theorem of intersections between exact Lagrangians with the 0-section inside the cotangent. Finally we study the characteristic distribution on hypersurfaces lying inside the contactification of an exact symplectic manifold. It allows us to define a new set of values for open domains of the contact manifold considered. This set of values contains contact invariants and generalise the notion of the spectrum of an open domain in an exact symplectic manifold