Progressivity in topological data analysis

L’analyse topologique de donnés permet l’extraction générique et efficace de caractéristiques structurelles dans les données. Cependant, bien que ces techniques aient des complexités asymptotiques connues et raisonnables elles sont rarement interactives en pratique sur des jeux de données réels. Dans cette thèse, nous avons cherché à développer des méthodes progressives pour l’analyse topologique de données scalaires scientifiques, qui peuvent être interrompues pour fournir rapidement un résultat approché exploitable, et sont capables de l’affiner ensuite. Nous introduisons deux algorithmes progressifs pour le calcul des points critiques et du diagramme de persistance d’un champ scalaire. Ensuite, nous revisitons ce cadre progressif pour introduire un algorithme pour le calcul approché du diagramme de persistance d’un champ scalaire, avec des garanties sur l’erreur d’approximation associée. Enfin, afin d’effectuer une analyse visuelle de données d’ensemble, nous présentons un nouvel algorithme progressif pour le calcul du barycentre de Wasserstein d’un ensemble de diagrammes de persistance, une tâche notoirement coûteuse en calcul. Notre approche progressive permet d’approcher le barycentre de manière interactive. Nous étendons cette méthode à un algorithme de classification topologique de données d’ensemble, qui est progressif et capable de respecter une contrainte de temps.Topological Data Analysis (TDA) forms a collection of tools that enable the generic and efficient extraction of features in data. However, although most TDA algorithms have practicable asymptotic complexities, these methods are rarely interactive on real-life datasets, which limits their usability for interactive data analysis and visualization. In this thesis, we aimed at developing progressive methods for the TDA of scientific scalar data, that can be interrupted to swiftly provide a meaningful approximate output and that are able to refine it otherwise. First, we introduce two progressive algorithms for the computation of the critical points and the extremum-saddle persistence diagram of a scalar field. Next, we revisit this progressive framework to introduce an approximation algorithm for the persistence diagram of a scalar field, with strong guarantees on the related approximation error. Finally, in a effort to perform visual analysis of ensemble data, we present a novel progressive algorithm for the computation of the discrete Wasserstein barycenter of a set of persistence diagrams, a notoriously computationally intensive task. Our progressive approach enables the approximation of the barycenter within interactive times. We extend this method to a progressive, time-constraint, topological ensemble clustering algorithm