Hybrid High-Order methods for complex problems in fluid mechanics

Les travaux de cette thèse portent sur le développement et l'analyse de méthodes de discrétisation Hybrides d'Ordre Élevé (HHO: Hybrid High-Order, en anglais) pour des problèmes complexes en mécanique des fluides. Les méthodes HHO sont une nouvelle classe de méthodes de discrétisation des EDPs, capable de gérer des maillages polytopiques généraux. Nous nous intéressons aux problèmes faisant intervenir des fluides non-newtoniens, plus précisément dans un cadre non-hilbertien. L'objectif est de généraliser des théorèmes d'analyse fonctionnelle discrète au cas non-hilbertien afin d'établir des résultats de bonne position, de convergence par compacité, et des estimations d'erreur pour les méthodes HHO. Trois problèmes principaux sont étudiés pour lesquels nous développons, analysons et illustrons numériquement une méthode HHO. Le premier porte sur les équations de Stokes généralisées aux fluides non-newtoniens, pouvant considérer des fluides caractérisés par des lois en puissance ou de Carreau-Yasuda. Dans l'analyse, nous introduisons la notion de fonction encadrée permettant de gérer la non-linéarité du problème. De plus, nous généralisons au cadre non-hilbertien une inégalité de Korn discrète afin d'obtenir la bonne position du problème, ainsi qu'une estimation d'erreur. Le second problème concerne les problèmes de Leray-Lions, dont un exemple classique est celui du p-Laplacien. Dans le cas où p < 2, des dégénérescences locales peuvent apparaître lorsque le gradient de la solution s'annule ou explose. Dans ce travail, nous établissons de nouvelles estimations d'erreur offrant des ordres de convergence allant de (k+1)(p-1) à k+1 selon la dégénérescence du problème, où k correspond au degré polynomial de la méthode. Le troisième problème porte sur les équations de Navier-Stokes, généralisées aux fluides non-newtoniens incompressibles, dont leur convection peut suivre une loi en puissance. Nous introduisons deux exposants de Sobolev caractérisant le comportement de loi en puissance des lois de viscosité et de convection du fluide. Dans ce travail, une analyse du problème continu permet de faire apparaître des relations entre ces exposants de Sobolev qui se répercutent au niveau discret. Nous établissons ainsi des résultats de convergence sous l'hypothèse de régularité minimale, ainsi qu'une estimation d'erreur pour les fluides pseudoplastiques. Enfin, nous appliquons la méthode sur le problème de la cavité entraînée, permettant d'illustrer les phénomènes engendrés par l’introduction des lois en puissances dans les termes de visqueux et convectif.The work of this thesis focuses on the development and analysis of Hybrid High-Order (HHO) discretization methods for complex problems in fluid mechanics. HHO methods are a new class of PDEs discretization methods, capable of handling general polytopic meshes. We are interested in problems involving non-Newtonian fluids, more precisely in a non-Hilbertian structure. The objective is to generalize discrete functional analysis theorems to the non-Hilbertian case in order to establish results of good position, convergence by compactness, and error estimates for HHO methods. Three main problems are studied for which we develop, analyze and numerically illustrate a HHO method. The first concerns the Stokes equations generalized to non-Newtonian fluids, which can consider fluids characterized by power-laws or Carreau-Yasuda laws. In this analysis, we introduce the notion of power-framed function, making it possible to handle the non-linearity of the problem. In addition, we generalize a discrete Korn inequality to the non-Hilbertian case in order to obtain the good position of the problem, as well as an error estimate. The second problem concerns the Leray-Lions problems, a classic example of which is that of the p-Laplacian. In the case of p