Comportement ergodique des problèmes de contrôle et des jeux à champs moyen

Les travaux de cette thèse concernent l'analyse de systèmes de jeu à champ moyen (MFG) du premier ordre avec contrôle de l'accélération et l'étude du comportement en temps moyen long de systèmes de contrôle de type sous-riemannien. Plus précisément, dans la première partie nous commençons par étudier le caractère bien posé du système MFG associé à un problème de commande à équation linéaire en espace et en état de commande. En particulier, nous prouvons l'existence et l'unicité des solutions généralisées et nous étudions également leur régularité. Ensuite, nous nous concentrons sur le système MFG avec contrôle de l'accélération, un cas particulier de celui décrit ci-dessus, et nous étudions le comportement en temps moyen long des solutions en montrant la convergence vers une constante ergodique. Ici, comme pour l'analyse précédente, le principal problème est le manque de convexité et de coercivité stricte du Hamiltonien par rapport à la variable de quantité de mouvement. Cela conduit par exemple à la non-existence de solutions de viscosité continue aux équations ergodiques de Hamilton-Jacobi et, par conséquent, ça ne permet pas de définir le système MFG ergodique au sens classique. Nous concluons cette première partie en établissant un lien entre le système MFG avec contrôle de l'accélération et le système MFG classique. Pour ce faire, nous étudions le problème de perturbation singulière pour le système d'accélération MFG, c'est-à-dire que nous analysons le comportement des solutions aux systèmes de jeu à champ moyen dont le coût d'accélération devient nul. Encore une fois, nous résolvons le problème en utilisant des techniques de calcul des variations en raison du problème résultant du manque de convexité et de coercivité strictes du Hamiltonien par rapport à la variable de quantité de mouvement. Dans la deuxième partie, nous nous concentrons sur les systèmes de contrôle affine sans dérive (de type sous-riemannien). A la différence du cas de l'accélération, nous montrons qu'il existe une constante critique et que l'équation ergodique de Hamilton-Jacobi associée à une telle constante qui possède des solutions de viscosité continues. Pour cela nous faisons appel à la géométrie sous-riemannienne sur l'espace d'état. Toujours en utilisant les propriétés de cette géométrie, nous définissons le semi-groupe de Lax-Oleinink et nous prouvons l'existence d'un point fixe de ce semi-groupe. Nous concluons cette partie, et donc cette thèse, en étendant la célèbre théorie d'Aubry-Mather au cas du système de contrôle sous-riemannien. Nous montrons d'abord une formule de représentation variationnelle de la constante critique et, à partir de celle-ci, nous définissons l'ensemble de Mather et l'ensemble d'Aubry. En utilisant une approche dynamique, nous étudions les propriétés analytiques et topologiques de tels ensembles comme, par exemple, la différentiabilité horizontale de la solution critique en tout point se trouvant dans l'un des deux ensembles. Enfin, nous appliquons ces résultats pour étudier le caractère bien posé du système MFG ergodique associé à de tels systèmes de contrôle.The work in this thesis concerns the analysis of first-order mean field game (MFG) systems with control of acceleration and the study of the long time-average behavior of control systems of sub-Riemannian type. More precisely, in the first part we begin by studying the well-posedness of the MFG system associated with a control problem with linear state equation. In particular, via a relaxed approach, we prove the existence and the uniqueness of mild solutions and we also study their regularity. Then, we focus on the MFG system with control of the acceleration, a particular case of the one above, and we investigate the long time-average behavior of solutions showing the convergence to the critical constant. Here, as for the previous analysis, the main issues are the lack of strict convexity and coercivity of the Hamiltonian with respect to the momentum variable. Indeed, for instance, when studying the asymptotic behavior of the control system this lead us to a non existence result of continuous viscosity solutions to the ergodic Hamilton-Jacobiequation. Consequently, it does not allowed us to the define the ergodic MFG system as one would expect. We conclude this first part establishing a connection between the MFG system with control of acceleration and the classical one. To doso, we study the singular perturbation problem for MFG system of acceleration, that is, we analyze the behavior of solutions to the system when the acceleration cost goes to zero. Again, we solve the problem by using variation techniques due to the problems arising from the lack of strict convexity and coercivity of the Hamiltonian with respect to the momentum variable.In the second part, we concentrate the attention to drift-less affine control systems (sub-Riemannian type). Differently from the case of acceleration, we prove that there exists a critical constant and the ergodic Hamilton-Jacobi equation associated with such a constant has continuous viscosity solutions. This is possible appealing to the properties of thesub-Riemannian geometry on the state space. Still using the properties of this geometry we finally define the Lax-Oleinink semi group and we prove the existence of a fixed point of such semigroup. We conclude this part, and thus this thesis, extending the celebrated Aubry-Mather Theory to the case of sub-Riemannian control system. We first show a variational representation formula for the critical constant and from this we define the Aubry set. By using a dynamical approach we study the analytical and topological properties of such sets as, for instance, horizontal differentiability of the critical solution at any points lying in such a set