Study of geometrical and dynamical properties of certain group representations

Nous considérons dans cette thèse trois problèmesconcernant des propriétés géométriques et dynamiquesde représentations de groupes.Ces représentations sontgénéralement définies sur le groupefondamental d'une variété et à valeurs dansle groupe des transformations qui préservent unecertaine géométrieetencodent des structures géométriques et dynamiquessur cette variété.Dans le premier chapitre nous considéronsles représentations d'un groupe de surfaceà valeurs dans le groupe d'isométried'un espace métrique CAT(-1).Nous montrons que chacune de ces représentations estdominée par l'holonomie d'une structure hyperboliquesur la surface, ce qui signifie qu'il existeune application équivariante et contractanteentre le revêtement universel de la surface hyperboliqueet l'espace métrique en question.Ce résultat est la réponse à la généralisation d'un problèmequi apparaît dans la classification des espacesanti-de Sitter compacts de dimension 3.Dans le deuxième chapitrenous étudions les exposants de Lyapunov associésà une représentation Hitchin d'un groupe de surface (plus généralement,à certaines représentations Anosov) etune structure conforme sur la surface.Ces exposants de Lyapunov sont des mesures de la croissancede l'image de grands élements du groupe par la représentation.Nous montrons que la différence entre deux exposantsde Lyapunov consécutifs est uniformément minorée.Dans le dernier chapitrenous étudions les représentationsà valeurs dans le groupe de Lie complexeSL(d, C).Nous introduisons la notionde stabilité proximale pourune famille holomorphe de représentations.C'est une propriété de stabilité dynamiquede la famille de représentations.Nous montrons que cette propriétéest détectée par un courant de bifurcationdont le potentiel est définigrâce aux exposants de Lyapunovde ces représentations,définis à l'aide d'une marche aléatoire.In this thesis we consider three problemsabout geometric and dynamic propertiesof group representations.These representations are usuallydefined on the fundamental groupof a manifold and take valuesin a group of transformationspreserving a given geometryand encode some geometric or dynamicstructures on this manifold.In the first chapter we considerrepresentations from a surface groupto the isometry group of aCAT(-1) metric space.We prove that each one of these representationsis dominated by the holonomy of ahyperbolic structure on the surface,which means that there existsa contracting and equivariant mapbetween the universal coveringof the hyperbolic surface andthe metric space.This result answers the generalisationof a question raised by the classificationof compact anti-de Sitter spaces of dimension 3.In the second chapterwe study the Lyapunov exponentsassociated to a Hitchin representationon a surface group(more generally, to certain Anosov representations)and a conformal structure on the surface.These Lyapunov exponents measure the growthof the image of large group elements by the representation.We show that the difference between two consecutiveLyapunov exponents is uniformly bounded from below.In the last chapterwe study representations with valuesin the complex Lie groupSL(d, C).We introduce the notionof proximal stabilityfor a holomorphic familyof representations.This is a property of dynamical stabilityof the family of representations.We show that this property can be detectedby a bifurcation currentwhose potential is defined usingthe Lyapunov exponents of these representationsdefined using a random walk.We show that proximaly stable families enjoy additional stability properties