Algorithmes Inertiels et de Second Ordre pour l'Entraînement de Réseaux de Neurones

Les modèles de réseaux de neurones sont devenus extrêmement répandus ces dernières années en raison de leur efficacité pour de nombreuses applications. Ce sont des modèles paramétriques de très grande dimension et dont les paramètres doivent être réglés spécifiquement pour chaque tâche. Cette procédure essentielle de réglage, connue sous le nom de phase d'entraînement, se fait à l'aide de grands jeux de données. En raison du nombre de données ainsi que de la taille des réseaux de neurones, l'entraînement s'avère extrêmement coûteux en temps de calcul et en ressources informatiques. D'un point de vue mathématique, l'entraînement se traduit sous la forme d'un problème d'optimisation en très grande dimension impliquant la minimisation d'une somme de fonctions. Les dimensions de ce problème d'optimisation limitent fortement les possibilités algorithmiques pour minimiser une telle fonction. Dans ce contexte, les algorithmes standards s'appuient presque exclusivement sur des approximations de gradients via la méthode de rétro-propagation et le sous-échantillonnage par mini-lots. Pour ces raisons, les méthodes du premier ordre de type gradient stochastique (SGD) restent les plus répandues pour résoudre ces problèmes. De plus, la fonction à minimiser est non-convexe et potentiellement non-différentiable, limitant ainsi grandement les garanties théoriques de ces méthodes. Dans cette thèse, nous nous intéressons à construire de nouveaux algorithmes exploitant de l'information de second ordre tout en ne nécessitant que de l'information bruitée du premier ordre, calculée par différentiation automatique. Partant d'un système dynamique (une équation différentielle ordinaire), nous introduisons INNA, un algorithme inertiel et Newtonien. En analysant conjointement le système dynamique et l'algorithme, nous prouvons la convergence de ce dernier vers les points critiques de la fonction à minimiser. Nous montrons ensuite que cette convergence se fait en réalité vers des minimums locaux avec très grande probabilité. Enfin, nous introduisons Step-Tuned SGD, qui, à partir d'une utilisation astucieuse des mini-lots, discrétise efficacement de l'information du second-ordre afin de régler finement les pas de SGD. Nous prouvons la convergence presque sûre de SGD vers les points critiques et explicitons des vitesses de convergence. Tous les résultats s'accompagnent d'expériences encourageantes sur des problèmes d'apprentissage profond (ou deep learning).Neural network models became highly popular during the last decade due to their efficiency in various applications. These are very large parametric models whose parameters must be set for each specific task. This crucial process of choosing the parameters, known as training, is done using large datasets. Due to the large amount of data and the size of the neural networks, the training phase is very expensive in terms of computational time and resources. From a mathematical point of view, training a neural network means solving a large-scale optimization problem. More specifically it involves the minimization of a sum of functions. The large-scale nature of the optimization problem highly restrains the types of algorithms available to minimize this sum of functions. In this context, standard algorithms almost exclusively rely on inexact gradients through the backpropagation method and mini-batch sub-sampling. As a result, firstorder methods such as stochastic gradient descent (SGD) remain the most used ones to train neural networks. Additionally, the function to minimize is non-convex and possibly nondifferentiable, resulting in limited convergence guarantees for these methods. In this thesis, we focus on building new algorithms exploiting second-order information only by means of noisy firstorder automatic differentiation. Starting from a dynamical system (an ordinary differential equation), we build INNA, an inertial and Newtonian algorithm. By analyzing together the dynamical system and INNA, we prove the convergence of the algorithm to the critical points of the function to minimize. Then, we show that the limit is actually a local minimum with overwhelming probability. Finally, we introduce Step-Tuned SGD that automatically adjusts the step-sizes of SGD. It does so by cleverly modifying the mini-batch sub-sampling allowing for an efficient discretization of second-order information. We prove the almost sure convergence of Step-Tuned SGD to critical points and provide rates of convergence. All the theoretical results are backed by promising numerical experiments on deep learning problems