Quasi-geostrophic vortices and their desingularization

Ce mémoire de thèse se situe dans le domaine des mathématiques de la mécanique des fluides. Il y est proposé une étude des équations quasi-géostrophiques surfaciques non visqueuses (SQG) dans une version générale. Ces équations ont été introduites par les physiciens dans le cadre de la modélisation de l'atmosphère terrestre pour effectuer des prévisions météorologiques et climatiques. Elles modélisent l'évolution d'un gaz stratifié dans un référentiel en rotation au voisinage de l'équilibre géostrophique. Cet équilibre correspond à la situation où le gradient de pression et l'accélération de Coriolis se compensent exactement. Les équations quasi-géostrophiques sont la perturbation de cet équilibre par les phénomènes thermodynamiques atmosphériques. Outre les aspects de modélisation physique, il s'agit d'équations ayant des liens structurels importants avec les équations d'Euler bi-dimensionnelles et tri-dimensionnelles écrites en vorticité. La première partie de la thèse est consacrée aux problèmes de points-vortex pour les équations (SQG). Il s'agit de solutions pour (SQG) s'écrivant sous la forme d'une somme pondérée de masses de Dirac évoluant au cours du temps. Cette partie contient une extension de la théorie des points-vortex connue pour Euler bi-dimensionnel au cas quasi-géostrophique suivi d'une étude des collisions de vortex dans le cas d'Euler et dans le cas de (SQG). La seconde partie de la thèse est une construction variationnelle de solutions spéciales à (SQG). Ce sont des solutions qui prennent la forme de N patchs identiques (à rotation près) et dont les centres respectifs sont uniformément répartis sur un cercle. On obtient alors une structure ayant une symétrie d'ordre N. En outre, cette famille de solution est une désingularisation, une approximation, du système de points-vortex associé. Les désingularisations de systèmes de points-vortex sont un élément essentiel pour obtenir une dérivation rigoureuse du système de points-vortex à partir des équations aux dérivées partielles. Il s'agit d'un travail en collaboration avec mes directeurs de Thèse D. Smets et P. Gravejat. La troisième partie est la construction de solutions C∞ qui prennent la forme de deux zones de vorticité identiques mais de signes opposés et qui sont immobiles dans un référentiel en translation. Il s'agit d'une extension à un travail antérieur de D. Smets et P. Gravejat. La dernière partie porte sur la construction du réarrangement par tassement. Il s'agit d'un outil d'analyse fonctionnelle dont l'objectif est de décrire les zones de vorticité des solutions d'équations de la mécanique des fluides du plan et plus généralement les phénomènes de concentration non linéaires sous contraintes. À l'heure actuelle la construction est limitée à la dimension 1.This thesis is in the field of mathematics for fluid mechanics. There is proposed a study of quasi-geostrophic surface unviscous equations (SQG) in a general version. These equations were introduced by physicists as part of the modeling of the Earth's atmosphere for weather and climate forecasts. It models the evolution of a stratified gas in a rotating frame in the vicinity of the geostrophic equilibrium for which the pressure gradient and the Coriolis acceleration exactly offset each other. The perturbations of the geostrophic equilibrium leading to quasi-geostrophic motion come from thermodynamical atmospheric phenomena. In addition to the physical modeling aspects, there are important structural linkage with the two-dimensionnal and three-dimensionnal Euler equations written in vorticity and many properties and difficulties in common. The first part of the thesis is devoted to vortices problems for equations (SQG). Vortex model refers to solutions for (SQG) written in the form of a weighted sum of Dirac masses evolving over time. This part contains an extension of the theory of points-vortices known for Euler two-dimensionnal to the quasi-geostrophic case followed by a study of vortices collisions in the case of Euler and in the case of (SQG). The second part of the thesis is a variational construction of special solutions to (SQG). These are solutions that take the form of N identical patches up to rotation and uniformly distributed on circle. This leads to a solution with an N-fold symmetry. In addition, this family of solutions is a desingularization, an approximation, of the associated vortex system. Desingularizations of vortex systems are an essential element to obtain a rigorous derivation of the vortex system. The section is joint work with my PhD advisors D. Smets and P. Gravejat. The third part is the construction of solutions C∞ which take the form of two zones of identical vorticities but of opposite signs and which are translating at constant speed. It is an extension of a previous work by D. Smets and P. Gravejat. The last part deals with the construction of the rearrangement by tamping. It is a tool of functional analysis which objective is to describe the vorticity zones of the solutions of fluid mechanics equations on the plane and more generally the non-linear concentration phenomena under constraints. The construction is so far reduced to dimension 1