Some geometrical and dynamical properties of Lagrangian contact structures

Cette thèse a pour objet l’étude des interactions entre certaines propriétés géométriques des structures Lagrangiennes de contact, et certaines propriétés dynamiques de leurs automorphismes. On s’intéresse en particulier aux difféomorphismes partiellement hyperboliques des variétés compactes de dimension trois, dont les trois distributions invariantes sont lisses, et dont les distributions stable et instable engendrent une distribution de contact. Ces deux dernières distributions définissent une structure Lagrangienne de contact, dont l’analyse nous permet de classifier les difféomorphismes partiellement hyperboliques étudiés. Notre outil fondamental pour l’étude des structures Lagrangiennes de contact est la géométrie de Cartan normale qui leur est associée, dont nous exposons en détail le problème d’équivalence. Ces géométries de Cartan sont modelées sur l’espace des droites projectives pointées de RP2, homogène sous l’action de PGL3(R). L’étude de la géométrie de cet espace modèle et des motifs dynamiques de l’action de PGL3(R) sur ce dernier, nous permettent de construire des compactifications de certaines structures Lagrangiennes de contact Kleiniennes, sur lesquelles nous obtenons des exemples d’automorphismes Lagrangiens de contact non-conservatifs.In this PhD thesis, we study the interactions between some geometrical properties of Lagrangian contact structures, and some dynamical properties of their automorphisms. We study those threedimensional partially hyperbolic diffeomorphisms, whose three invariant distributions are smooth, and whose stable and unstable distributions generate a contact distribution. These last two distributions define a Lagrangian contact structure, whose analysis allows us to classify the investigated partially hyperbolic diffeomorphisms. Our principal tool to study Lagrangian contact structures is their normal Cartan geometry, whose equivalence problem is described in detail. These Cartan geometries are modelled on the space of pointed projective lines of RP2, homogeneous under the action of PGL3(R). The study of the geometry of this model space, and of the dynamical patterns of the action of PGL3(R), allow us to construct compactifications of some Kleinian Lagrangian contact structures, on which we obtain examples of non-conservatives Lagrangian contact automorphisms