Mixed hybrid numerical methods for convected acoustics. Applications in helioseismology.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à des problèmes de propagation d’ondes acoustiques dans un écoulement en vue d’applications en physique solaire. En effet, la structure interne du Soleil peut être étudiée à partir de l’observation de ces ondes sur la surface solaire.Dans un premier temps, nous rappelons le procédé de linéarisation des équations de la mécanique des fluides permettant de construire des modèles vectoriels de propagation d’ondes en écoulement. Nous étudions alors l’équivalence entre les modèles obtenus à partir des linéarisations eulériennes et lagrangiennes et nous montrons que cette équivalence ne peut pas toujours être garantie en régime harmonique. D’un point de vue pratique, l’exploitation numérique de cette équivalence semble inefficace, notamment pour la reconstruction des perturbations lagrangiennes à partir des perturbations eulériennes. Nous nous concentrons ensuite sur l’étude d’un phénomène de résonance en régime harmonique lorsque l’écoulement porteur a des lignes de courant fermées. Une étude modale montre que les équations considérées dégénèrent sur certaines lignes de courant. Sur ces lignes, il n’est alors pas possible de résoudre les équations. Il semble toutefois possible de résoudre ce problème en étudiant ces équations dans un espace hilbertien dont les propriétés de régularités sont plus faibles que pour les espaces de Hilbert habituellement utilisés pour l’étude des équations d’ondes aéroacoustiques. D’un point de vue numérique, la recherche de la solution dans un tel espace nécessite la construction de nouvelles méthodes numériques. Dans la deuxième partie de ce travail, nous nous concentrons sur la construction de méthodes numériques pour un modèle aéroacoustique simple : l’équation de Helmholtz convectée. Ce modèle scalaire peut être obtenu à partir des modèles vectoriels lorsque l’écoulement porteur est irrotationnel. Pour cette équation, nous construisons trois variantes de la méthode de Galerkine Discontinue Hybride (HDG). Les méthodes HDG sont des méthodes de Galerkine Discontinues mixtes dont le coût numérique reste raisonnable grâce à un procédé de condensation statique qui permet de réduire le problème à un problème posé uniquement sur le squelette du maillage. Nous avons effectué une analyse détaillée de ces méthodes, en particulier nous avons montré le caractère bien posé des méthodes, ainsi que des estimations de la vitesse de convergence pour des solutions régulières. Enfin, nous avons également discuté le choix du paramètre de pénalisation qui peut exercer une influence importante sur la qualité des résultats numériques. Ces méthodes ont été implémentées dans le code open-source Hawen et les résultats numériques ont permis d’illustrer les conclusions de notre étude théorique. Nous avons également construit des conditions aux limites absorbantes (CLA) d’ordre faible pour l’équation de Helmholtz convectée. Ces CLA sont obtenues par transformation de PrandtL-Glauert-Lorentz de CLA pour l’équation de Helmholtz standard lorsque l’écoulement porteur est uniforme à l’extérieur du domaine. Ces CLA sont performantes pour des écoulements dont le nombre de Mach est faible ou modéré et leur mise en œuvre dans un code éléments finis, notamment HDG, est simple.Enfin, la troisième partie de ce travail est consacrée à l’extension des méthodes HDG construites pour l’équation de Helmholtz convectée à des modèles plus réalistes. Dans un premier temps, nous décrivons les changements à apporter pour traiter les cas vectoriels. La construction d’une méthode HDG pour le cas vectoriel sans convection semble relativement aisée, mais la prise en compte des phénomènes convectifs pose de nombreuses questions tant théoriques que pratiques. Finalement, nous illustrons les possibilités des méthodes HDG sur un problème scalaire issu de l’astérosismologie qui prend en compte une partie des effets liés à la gravité. Le modèle obtenu est semblable à une équation d’Helmholtz convectée par la gravitéIn this thesis, we consider wave propagation problems in a flow arising in helioseismology. Indeed, the Sun’s internal structure can be studied thanks to surface observations of those waves.In the first part of this work, we recall how vectorial aeroacoustic models can be derived by linearizing the equations of fluid dynamics around an equilibrium state. We then study the equivalence between the resulting equations when both lagrangian and eulerian linearization are used. We show that this equivalence cannot always be guaranteed in the frequency domain. From a practical point of view, exploiting this equivalence seems inefficient, when trying to reconstruct the lagrangian perturbation from the eulerian ones. We then focus on the study of a resonant-like phenomenon that occurs in the frequency domain when the background flow has closed streamlines. The aeroacoustic equations are decomposed as a modal system, which degenerates on some of those streamlines. On those resonant streamlines it is therefore not possible to solve the equations. However, it seems possible to overcome this difficulty by studying these equations in a Hilbert space with lower regularity than the one commonly used from harmonic wave propagation problem. From a numerical point of view, new numerical methods are required to look for the solution in this low-regularity space.In the second part of this work, we focus on the construction of numerical methods for a simple aeroacoustic model: the convected Helmholtz equation. This scalar model can be derived from the vectorial ones when the carrier flow is irrotational. For this simple equation, we construct three variants of the Hybridizable Discontinuous Galerkin (HDG) method. HDG methods are mixed Discontinuous Galerkin (DG) methods whose numerical cost is reduced thanks to a static condensation process leading to a problem only posed on the skeleton of the mesh. For those methods, we performed a detailed analysis which includes well-posedness results when the mesh is fine enough, as well as convergence estimates for regular solutions. We also discussed the choice of penalization parameter, as it can impact the quality of the numerical results. Those methods were implemented in the open-source software Hawen and the theoretical results were illustrated by the numerical simulations. Finally, we also constructed low-order Absorbing Boundary Conditions (ABCs) for the convected Helmholtz equation by using the Prandtl-Glauert-Lorentz transformation of ABCs for the standard Helmholtz equation when the background flow is locally uniform in the vicinity of the boundary of the domain. These ABCs are accurate for low intermediate Mach numbers, easy to implement in a finite-element solver and well-suited to the HDG formulations that we have constructed.Finally, the last part of this work is devoted to the extension of those HDG methods to more realistic models. We first describe the changes required to devise HDG methods for vectorial aeroacoustic models. Even if it seems straightforward to construct HDG schemes for the vectorial equation without convection, many theoretical and practical questions arise when we try to take this phenomenon into account. We then illustrate the HDG methods that we have constructed on a scalar problem arising in asteroseismology. This scalar model is similar to a convected Helmholtz equation where the velocity field is replaced by the gravitational one