Analyse mathématique et numérique des plis du graphène

Cette thèse s'inscrit dans le vaste champ multidisciplinaire de recherche réunissant la science de couches minces, l'analyse mathématique et le calcul scientifique des équations aux dérivées partielles non linéaires. L'objectif est de développer des méthodes mathématiques et numériques nouvelles qui permettent de donner des explications et de comprendre la modélisation des nanostructures et leur autoorganisation sur des surfaces de films minces. La morphologie d'une surface correspond à des réarrangements qui abaissent l'énergie totale du système, mais augmentent l'énergie de déformation élastique. Pour relaxer l'énergie correspondante, le film a la possibilité de modifier la forme de sa surface libre, de façon à se placer dans une configuration d'énergie plus favorable. Un exemple très commun de déformation de surface est le froissement ou les plis de la peau humaine, les feuilles d'une plante ainsi que les tissus. De point de vue mathématique, aborder un tel problème au niveau fondamental se révèle très difficile au regard de nombre d'incertitudes qui portent sur un grand nombre de paramètres. En effet, le caractère irrégulier des surfaces rend très délicat la modélisation de ces systèmes par une EDP. En plus, les algorithmes utilisés pour résoudre de telles EDP sont généralement très instables. Ici nous nous sommes intéressés aux phénomènes de formation des rides dans une couche de Graphène déposée entre deux nanoparticules de silicium. La première partie de cette thèse est dévouée à une méthode numérique originale qu'on développe pour optimiser l'énergie associée au modèle ce qui nous a permis de déterminer la distance critique entre les deux nanoparticules du silicium ayant la même taille en dessous de laquelle la ride est conservée. Ensuite, on développe un autre modèle mathématique du graphène entre deux nanoparticules ayant différentes tailles cette fois-ci, une analyse analytique a été menée d'une manière rigoureuse pour déterminer là aussi la distance critique mais le résultat obtenu est loin des résultats expérimentaux. En seconde partie, deux EDP génériques sont étudiées. Ces équations sont utilisées pour analyser les instabilités qui sont à l'origine des ondulations des marches. Pour la première équation, on a obtenu une classification complète de solutions via une analyse de solutions stationnaires. La deuxième partie du chapitre est dévouée à l'étude du comportement asymptotique de la période des solutions. Cette partie est principalement consacrée à l'analyse des solutions périodiques autosimilaires. Ensuite, on propose d'approfondir l'analyse théorique et numérique présentées au chapitres précédents. Le but de cette partie est de minimiser une énergie plus générale sous des contraintes sur la taille, et on montre que cette énergie peut être minimisée sous des conditions sur l'exposant critique et on obtient ensuite une caractérisation du diamètre critique de la nanoparticule. On s'est aussi intéressé à l'analyse mathématique d'une équation singulière quasi linéaire elliptique avec donnée mesure de Radon, on obtient l'existence, la non-existence et l'unicité des solutions faibles. A cet effet, on obtient diverses conditions nécessaires ou suffisantes sur les données du problème. L'ingrédient principal est l'inégalité isopérimétriqueThis thesis constitutes a multidisciplinary approach bringing together the science of thin films, the mathematical analysis and the scientific calculation of nonlinear partial differential equations as well as industrial application. The objective is to develop new mathematical and numerical methods which make it possible to explain and understand the nanostructures and their self-organization on thin films surfaces. The morphology of a surface corresponds to atomic arrangements which induce significant constraints. This is a rearrangement that lowers the total energy of the system, but increases the energy of elastic strain. To relax the corresponding energy, the film has the possibility of modifying the shape of its free surface, so as to place itself in a more favorable energy configuration. A simple example of instabilities or deformation of surface is the wrinkles that appear on the human skins, plant leaves or tissues. Here we are particularly interested in the phenomena of wrinkle formation in a layer of Graphene, one of the thinnest known membranes, deposited between two silicon (Si02) nanoparticles. The first part of this thesis is devoted to an original numerical method that we develop to optimize the energy associated with the graphene model which allowed us to determine the critical distance between the two silicon nanoparticles having the same size below which the wrinkle is preserved. Then, we develop anothermathematical model of graphene between two nanoparticles having different sizes this time, an analytical analysis was carried out in a rigorous way to determine again the critical distance, and very interesting results were obtained. In the second part, two generic equations are studied. These equations are used to analyze the instabilities which are at the origin of the undulations of the steps in the surfaces. For the first equation, a complete classification of solutions was obtained through stationary solutions analysis. The second part of this chapter proposes to study the asymptotic behavior, for large times, of the solution period. This step is crucial in describing the roughness of surfaces. This part is mainly devoted to the analysis of autosimilar (periodic) solutions. The major contribution here is a contribution which provides a rigorous mathematical justification for the existence of periodic similarity solutions of the interfacial equation. Later on, we propose to generalize the theoretical and numerical analysis of the previous chapters, and we study a more general energy under size constraints, and it is shown that this energy can be minimized under conditions on the critical exponent and then a characterization of the critical diameter of the nanoparticle is obtained. We were also interested in the mathematical analysis of a singular quasilinear elliptical equation with a Radon measure, we obtain the existence, non-existence and uniqueness of weak solutions. To this end, various necessary or sufficient conditions are obtained on the data of the problem. The main ingredient is the isoperimetric inequalit