Geometric and numerical methods in optimal control and Zermelo problems in the plane : applications

Ce travail étudie les problèmes de Zermelo sur les surfaces de révolution du point de vue du contrôle optimal dans le cadre hamiltonien en combinant des méthodes dites géométriques et numériques. Il est motivé par plusieurs cas d'études notamment l'exemple historique de Carathéodory-Zermelo qui est l'un des problèmes fondateurs du calcul des variations et une forme normale intéressante pour l'analyse microlocale du problème dans le cas général, ainsi que le problème dit "du vortex" qui est une application récente provenant de l'hydrodynamique et qui décrit l'évolution d'une particule passive autour d'un point vortex. Le problème de Zermelo ainsi considéré est déterminé par un triplet (M, g, F0) où M est une variété de dimension 2 avec des coordonnées normales q = (r,thêta), g une métrique riemannienne sur M et F0 un champ de vecteur définissant le courant (ou le vent). Du point de vue du contrôle optimal, ce problème correspond à un problème de transfert en temps minimal entre deux points q0 et q1 pour un système de contrôle affine de la forme : q = F0(q) + u1 F1(q) + u2 F2(q), ‖u‖ 1), celles-ci étant associées aux situations nouvelles telles que : la perte de contrôlabilité locale en q0, la discontinuité de la fonction temps minimale, la déformation des petites sphères et boules, l'apparition de nouvelles branches dans le lieu de coupure (lieu où les trajectoires perdent leur optimalité), etc. Notre analyse est principalement basée sur deux points de vue. Le premier point de vue est le point de vue de Carathéodory, équivalent à la transformée de Goh en contrôle. Il permet de réécrire le problème comme un système de contrôle affine et scalaire en dimension 3 et d'utiliser des outils géométriques de ce cadre pour calculer les lieux conjugué et de coupure en lien avec l'optimalité locale et globale des solutions. Le second point de vue est le point de vue système mécanique qui permet d'écrire le problème à l'aide d'un potentiel généralisé et d'utiliser la relation de Clairaut pour intégrer le flot et classifier les trajectoires suivant une méthode de classification appelée GMR (generalized Morse-Reeb) qui généralise la classification de Morse-Reeb en système dynamique. Dans ce contexte, nous introduisons les concepts de feuilletage de Reeb, composante de Reeb, géodésique séparatrice qui sépare en différente classe le flot géodésique. Un accent particulier est ensuite mis sur l'étude du problème vortex qui peut être vue comme un modèle réduit du problème de Kepler, mais avec un courant orthoradial. Dans ce cas, on établit un résultat d'existence de solution optimale et on construit la synthèse du problème.This work studies Zermelo problems on revolutions surfaces from the point of view of optimal control in the Hamiltonian framework by combining so-called geometrical and numerical methods. It is motivated by several case studies, in particular the historical example of Carathéodory-Zermelo which is one of the founding problems of the calculus of variations and an interesting normal form for the microlocal analysis of the global problem, as well as the so-called "vortex problem" which is a recent application from hydrodynamics and which describes the evolution of a passive particle around a vortex point. The considered Zermelo problem is determined by a triplet (M, g, F0) where M is a 2D manifold with normal coordinates q = (r,thêta), g is a Riemannian metric on M and F0 is a vector field defining the current (or the wind). From the optimal control view point, this problem corresponds to a minimum time transfer problem between two points q0 and q1 for an affine control system of the form : q(t) = F0(q) + u1F1(q) + u2F2(q), ‖u‖ 1), which are associated to new situations such as : the loss of local controllability in q0, the discontinuity of the minimal time value function, the deformation of small spheres and balls, the apparition of new branches in the cut locus (set of points where trajectories lose their optimality), etc. Our analysis is essentially based on two points of view. The first point of view is the Caratheodory viewpoint, equivalent to the Goh transform in control. It allows us to rewrite the problem as an affine and scalar control system in dimension 3 and to use geometric tools of this framework in order to compute the conjugate and cut loci in relation with the local and global optimality of the solutions. The second point of view is the mechanical system viewpoint which allows to write the problem using a generalized potential and to use the Clairaut relation to integrate the flow and to classify the trajectories according to a classification method called GMR (generalized Morse-Reeb) which generalizes the Morse-Reeb classification in dynamical system. In this context, we introduce the concepts of Reeb foliation, Reeb component, separatrix geodesic which separated the geodesic flow into different classes. A special attention is given to the study of the vortex problem which can be seen as a toy model of the Kepler problem, but with an orthoradial current. In this case, we provide a result for the existence of an optimal solution and we construct the synthesis of the problem