On a quadratic formalism for the continuation of the solutions of dynamical systems and their bifurcations : applications to reed instruments

Cette thèse présente une approche générique pour l’étude des systèmes dynamiques. Elle repose sur la reformulation quadratique du système, qui, si elle peut paraître réductrice au premier abord se révèlera être d’une grande efficacité. Au début, une méthode de continuation utilisant des séries de Taylor est expliquée. Elle permet d’obtenir des diagrammes de bifurcations de manière efficace et précise et des applications à la résolution de systèmes non linéaires sont présentées en lien avec des techniques d’homotopies. Elle permet également de construire facilement des méthodes d’intégration temporelle d’ordre élevé. L’étude des régimes établis ainsi que transitoires peut être menée dans le cadre de la méthode présentée. De manière générale, les solutions des problèmes de Cauchy et des problèmes aux limites peuvent être calculées et continuées. Les solutions périodiques, et plus généralement quasi-périodiques, de systèmes d’équations différentielles sont accessibles à travers leur série de Fourier. Cette méthode, connue comme l’équilibrage harmonique, est extrêmement efficace quand elle est combinée à la continuation par séries de Taylor, grâce à la reformulation quadratique. D’autres conséquences immédiates en sont l’analyse de stabilité des équilibres et cycles limites de certains systèmes. Une des avancées principales permise par le formalisme défini dans ce manuscrit est certainement le calcul numérique. Il en résulte que l’implémentation des méthodes est simple et efficace. A la fin de ce manuscrit, le lecteur trouvera des applications dans le domaine de l’acoustique musicale qui montrent les performances et les possibilités contenues dans les travaux présentésThis manuscript develops a generic framework for the study of dynamical systems. It relies on a quadratic reformulation of the equations defining the dynamical system, shown to be much more generic than it could seem at first sight. A continuation procedure using high-order Taylor series sometimes known as the Asymptotic Numerical Method is explained in the beginning. This powerful approach allows an efficient construction of bifurcation diagrams. Direct applications in nonlinear system solving are presented together with homotopy techniques. Time integration with high order Taylor series approximations are also handled. The study of transient behaviors is addressed as well as steady states. To put it differently, the solutions of initial value problems and boundary value problems can both be computed and continued. The periodic solutions, and more generally the quasi- periodic solutions, of time-continuous dynamical systems can be accurately represented with high order Fourier series. This method, sometimes known as the Harmonic Balance Method, becomes extremely efficient when coupled to Taylor series based continuation thanks to the quadratic formalism. Stability analysis and bifurcation analysis of equilibrium and periodic orbits is a by-product of the methods explained in the manuscript. In addition, numerical implementation is discussed in detail and once again its simplicity and efficiency flow from the quadratic formalism established. Finally, some applications of these tools are presented. They demonstrate the versatility and computational performance of the contents of this manuscrip