Uncertainty quantification and propagation in rapid dynamics : application to crash problem

Lors d'un accident, dans le cas d'un choc frontal, une grande partie de l'énergie est généralement dissipée par la déformation et l'écrasement de dispositifs fusibles. L'énergie dissipée est alors incertaine car elle dépend de plusieurs paramètres incertains. Dans cette thèse, une crash box est étudiée en tenant compte des incertitudes. Le but de cette thèse est de propager des paramètres incertains à travers un problème de crash. L'approche usuelle pour la quantification de l'incertitude (UQ) est la simulation de Monte Carlo (MCS). Or la MCS nécessite un grand nombre d'évaluations du modèle. Cela rend l'utilisation de cette approche très difficile dans le cadre d'un problème complexe, comme un problème de collision. Pour surmonter cette difficulté, l'approche par métamodèle est utilisée: on recherche alors un compromis entre précision et efficacité. Pour notre problème dynamique, un premier métamodèle est développé : il combine le modèle de krigeage et le modèle NARX (Nonlinear Auto-Regressive with eXogenous input). Ce modèle, appelé KNARX creux, est généralement adapté à l'UQ des systèmes dynamiques non linéaires en utilisant un faible nombre d'évaluations du modèle. Il est cependant incapable d'estimer de façon satisfaisante les réponses d'un oscillateur simple impacté, représentatif d'un problème de crash (car comportement non régulier). Un nouveau métamodèle, appelé POD-PCE, est alors formulé. Il découple respectivement le domaine temporel et le caractère aléatoire par l'utilisation d'une décomposition orthogonale (POD) et d'un développement en chaos polynomiaux (PCE). Les incertitudes d'un oscillateur impacté sont propagées à l'aide de ce modèle POD-PCE. Le modèle POD-PCE et le modèle PCE fonctionnent bien avec un nombre assez faible d'évaluations du modèle par rapport à l'approche MCS. L'approche POD-PCE est plus efficace que le modèle PCE parce que les coefficients du modèle PCE doivent être calculés à chaque pas de temps, alors que l'aspect temporel est pris en compte avec seulement quelques modes orthogonaux dans le cas du modèle POD-PCE. Toutefois, le modèle POD-PCE prédit parfois des forces de contact négatives non physiques, qui peuvent être réduites en utilisant des polynômes de degré élevé. L'utilisation d'un polynôme de degré élevé peut toutefois s'avérer prohibitive pour le modèle PCE car la détermination d'un nombre élevé de coefficients nécessite un grand nombre d'évaluations du modèle. C'est pourquoi un modèle PCE basée sur une inférence bayésienne variationnelle creuse (SVB) est proposé: il sélectionne les termes importants dans la base polynomiale et réduit ainsi les problèmes liés à un sur-ajustement, tout en utilisant un faible nombre d'évaluations du modèle. Il est observé que les forces négatives peuvent être réduites en utilisant le modèle POD-SVB-PCE. En outre, il est important de formuler un cadre adaptatif pour la sélection du nombre d'évaluations du modèle et du degré polynomial. Pour cette raison, un modèle SVB-PCE adaptatif est formulé. Il a été également couplé à l'approche POD pour formuler un modèle POD-SVB-PCE adaptatif. Ce cadre adaptatif est finalement appliqué à une crash box écrasée par une masse rigide impactante pour propager les différentes incertitudes du modèle et effectuer une analyse de sensibilité globale (GSA). Les exemples montrent que le modèle adaptatif POD-SVB-PCE a la capacité de prédire des résultats satisfaisants avec un faible nombre d'évaluations du modèle pour la plupart des réponses. Cependant, il est assez difficile d'obtenir une bonne précision pour la force de contact, même en utilisant le nombre maximum d'évaluations de modèle alloué~; la précision prédite pour la force de contact reste cependant acceptable. La GSA dépendante du temps est réalisée efficacement, sans coût de calcul supplémentaire, en post-traitant les paramètres du modèle adaptatif POD-SVB-PCE.The safety of a car occupant depends on several factors during an accident such as the seatbelt condition, the number of occupants in the car, the structure of the car. Usually, in the case of a frontal crash, a large part of the initial kinetic energy is dissipated in the compression of the crash boxes and the dissipated energy may be uncertain due to several uncertain parameters. A crash box is investigated in this thesis considering several uncertain parameters. The main challenging task for the thesis is the propagation of the uncertain parameters through a crash problem. The conventional approach for the uncertainty quantification (UQ) is the Monte Carlo simulation (MCS). However, MCS requires a large number of model evaluations which prohibits to apply this approach in a complex problem (i.e. a crash problem). To overcome this issue, the surrogate modeling approach is investigated in this thesis, which maintains a trade-off between accuracy and efficiency. As the crash problem is a dynamic problem, {a first surrogate model called sparse KNARX is developed in this thesis: it combines the Kriging model and a Nonlinear Auto-Regressive with eXogenous input (NARX) model. The sparse KNARX model performs very well for UQ of several nonlinear dynamical systems using low number of model evaluations. However, the sparse KNARX model is unable to identify an impact oscillator (a representative system for a crash problem) due to the non-smooth behavior. For the impact problem, a new surrogate model is formulated, which decouples the time-domain and the randomness by the proper orthogonal decomposition (POD) and the uncertain parameters are propagated by the polynomial chaos expansion (PCE) approach: the resulting surrogate model is called POD-PCE model. Further, it is applied to an impact oscillator for UQ. The POD-PCE model and the PCE model perform well with quite low number of model evaluations as compared to the MCS approach. The PCE model is constructed only for the reduced number of proper orthogonal modes in case of the POD-PCE model whereas the coefficients must be computed at each time-step in case of the PCE model. Although the results are quite good, some non-physical negative contact forces are predicted by the POD-PCE model, which may be reduced by using a high degree polynomial. At the same time, the use of high degree polynomial is prohibitive for the PCE model as it requires a large number of model evaluations. For that reason, a sparse variational Bayesian (SVB) based PCE model is proposed in this thesis: it selects the important terms in the polynomial basis and subsequently reduces the chances of overfitting with a low number of model evaluations. It is observed that the non-physical negative forces can be reduced to some extent using the POD-SVB-PCE model. However, it is impossible to mitigate the non-physical forces due to the non-smooth behavior of the impact oscillator. Further, it is important to formulate an adaptive framework such that the number of model evaluations and the polynomial degree are selected adaptively. For that reason, an adaptive SVB-PCE model is formulated and furthermore, it is coupled with the POD approach to formulate an adaptive POD-SVB-PCE model. This adaptive framework is applied to a crash box under impact loading for UQ and global sensitivity analysis (GSA). The results show that the adaptive POD-SVB-PCE model has the capability to predict a good result with a low number of model evaluations for most of the responses. However, it is quite difficult to achieve a good accuracy for the contact force with the adaptive POD-SVB-PCE model even using the maximum allocated number of model evaluations; the predicted accuracy for the contact force remains however acceptable. The time-dependent GSA is performed by post-processing the adaptive POD-SVB-PCE model parameters which is quite efficient without any additional computational cost