Geometric constraints and variational approaches to image analysis

Beaucoup de problèmes en analyse d’images sont caractérisés comme des problèmes inverses, et des hypothèses s'avèrent nécessaire pour obtenir un formulation bien posée, c’est-à-dire que le problème ait une solution et que celle-ci soit unique. Une approche possible consiste à utiliser des critères géométriques pour régulariser le problème, par exemple pour favoriser des solutions avec des contours lisses ou de faible périmètre.Cependant, dans le cadre de l’analyse d’image; nous ne disposons pas de la représentation mathématique des objets dans une scène observée. Nous devons utiliser les seules données discrètes (les couleurs des pixels de l’image) qui approchent ces objets et les mesures géométriques sont alors délicates. Les méthodes classiques prennent peu en compte la nature discrète des données dans leur mesure. En conséquence, nous n’avons pas de garanties de convergence ou même d’approximation des mesures effectuées par rapport aux mesures euclidiennes attendues. La régularisation dans le processus de traitement d’image est alors incorrecte ou peu précise, et les solutions trouvées sont alors biaisées.Récemment, plusieurs estimateurs discrets de propriétés géométriques, notamment liés à la longueur, à la tangente et à la courbure, ont été prouvé convergents multigrilles. Autrement dit la valeur mesurée par ces estimateurs sur la représentation discrète d’une forme converge vers la valeur mesurée sur sa forme euclidienne quand on utilise des grilles de discrétisations de plus en plus fines. Néanmoins, on constate que la littérature d’analyse d’image comporte peu de modèles qui utilisent des estimateurs convergents multigrille. Cela vient du fait qu’il est plus difficile des les intégrer dans les algorithmes de résolution.Dans cette thèse, nous explorons l’utilisation d’estimateurs convergents multigrille dans des applications en analyse d’image. Plus spécifiquement nous cherchons à intégrer des régularisations basées sur des estimateurs convergents de courbure dans des processus de segmentation d’image. Nous présentons quatre modèles variationnels combinatoires basés sur l’énergie dite “Elastica” (combinaison classique de régularisation géométrique utilisant la longueur et la courbure) avec application en segmentation d’image. Nos résultats sont ensuite évaluées et comparées avec des méthodes similaires, et nos modèles s’avèrent très compétitifs avec l’état de l’art.Several problems in image processing belong to the class of inverse problems, and hypotheses should be made to have a well-defined formulation, i.e., a formulation in which a solution exists and it is unique. A possibility is to use geometric criteria to regularize the problem, e.g., to favor solutions with smooth contours or short perimeters. This process is called regularization.However, it is likely the case that the objects in the scene have unknown mathematical representations and that such geometric measurements should be computed in place, considering only their visual representation: In the case of image processing, a digital image. Usually, such measurements are computed without considering the nature of the digital domain, and consequently, are not guaranteed to converge neither approximate the expected Euclidean quantity. The regularization is thus incorrect or not precise, and the solutions biased.Recently, several digital estimators of geometric properties such as tangent and curvature were proven multigrid convergent. In other words, the estimated values computed in the digital representation of a shape converges towards the values computed in its Euclidean representation as the digital mesh becomes finer and finer. However, there exist few models in the image processing literature that make use of them. That is because such estimators are more difficult to integrate in an optimization framework.In this thesis, we investigate the use of multigrid convergent estimators and their applications in image processing. In particular, we aim to integrate regularizers based on convergent estimators of curvature in image segmentation problems. We present four combinatorial models based on the elastica energy (a classical geometric regularization term combining perimeter and curvature) with applications in image segmentation. Next, we evaluate our results and compare with similar methods. The results have shown to be very competitive with the state of art