Numerical methods around shallow water flows : dispersive effects, Coriolis force

Nous étudions dans cette thèse des méthodes numériques pour les écoulements en eaux peu profondes à surface libre. D'une part, nous nous intéressons aux modèles non-hydrostatique de Saint-Venant prenant en compte des effets dispersifs. D'autre part, nous étudions le modèle de Saint-Venant avec terme source de Coriolis et ses équilibres géostrophiques. Dans un premier temps nous considérons des méthodes numériques pour une famille de modèles d'Euler moyennés sur la hauteur d'eau provenant de la littérature. Il s'agit de modèles de Saint-Venant avec une pression non-hydrostatique. Notre but premier est d'analyser la convergence d'un schéma mixte avec condensation de masse introduit dans la littérature en utilisant la Méthode de Discrétisation du Gradient (GDM). Par la suite, nous proposons une nouvelle formulation conforme du problème en pression et donnons les estimateurs d'erreur correspondant via la GDM. Enfin, nous donnons un exemple d'application avec la méthode des éléments finis. Dans un second temps nous souhaitons avoir des schémas explicites colocalisés volumes finis pour les équations de Saint-Venant non-linéaires avec un terme source de Coriolis qui seraient précis aux alentours de l'équilibre géostrophique et stables dans le cadre non-linéaire. Nous construisons plusieurs schémas volumes finis et étudions les deux propriétés suivantes : la décroissance de l'énergie semi-discrète et la préservation de l'équilibre géostrophique par la version linéarisée. Enfin, nous observons le comportement de ces schémas à travers plusieurs cas tests et obtenons de meilleurs résultats en comparaison d'un schéma volumes finis classique.In this work we study some numerical methods for free surface shallow water flows. On one hand, we are interested in non-hydrostatic shallow water models which take into account dispersive effects. On the other hand, we study the shallow water model with Coriolis source term and the associated geostrophic equilibrium. First, we consider numerical methods for a family of depth-averaged Euler models from the literature. These models are shallow water models with non-hydrostatic pressure. Our first goal is to analyse the convergence of a mixed mass-lumped scheme introduced in the literature through the Gradient Discretisation Method (GDM). This method allows us to obtain a convergence result on the proposed scheme for the elliptic problem. Then, we propose a new conforming formulation of the problem on the pressure and give the corresponding error estimate provided by the GDM. Finally, an application to the conforming finite element method is given. Then, we aim at designing explicit colocated finite volume schemes for the nonlinear Shallow Water equations with Coriolis source term that are proved to be accurate around the geostrophic equilibrium and stable in the nonlinear framework. We define some finite volume schemes and study the two properties we are interested in : the decrease of the semi-discrete energy and the preservation of the geostrophic equilibrium in the linearized version. Finally, we illustrate the behaviour of the schemes for some standard test cases and we exhibit a great improvement when compared to a classic finite volume scheme