Mean-Field Approximation For The Anyon Gas

Ce manuscrit est dédié à l'étude des gaz d'anyons. Il s'agit de dérivations rigoureuses d'énergies fondamentales de ces systèmes dans la limite de champs moyen, i.e quand le nombre de particule tend vers l'infini. Au sein des systèmes bi-dimensionnels le choix de la statistique des particules n'est pas limité à la dichotomie boson/fermion. Le paramètre statistique peut prendre n'importe quelle valeur entre 0 et 1 extrapolant entre bosons (paramètre statistique nul) et fermions (paramètre statistique égal à 1). Ces quasi-particules sont alors décrites comme d'authentiques fermions ou bosons interagissant via un potentiel magnétique longue portée généré par des charges magnétiques de rayon R que les particules transportent. En d'autres termes, nous ajoutons aux particules un tube de flux fictif de type Aharonov-Bohm. Nous avons donc affaire à un problème à N corps où toutes les particules interagissent entre elles. Nous considérons de plus que les anyons sont piégés dans un potentiel V et soumis à un champ magnétique extérieur. Nous étudions ici deux limites appelées quasi-bosonique et quasi-fermionique où le paramètre statistique tend respectivement vers celui des bosons puis des fermions. Dans le premier cas le paramètre statistique est vu comme une perturbation du cas bosonique. Nous le prenons égal à 1/N. Le rayon R tend aussi vers zéro quand N tend vers l'infini. Notre méthode permet d'obtenir la convergence des états fondamentaux de ces gaz ainsi que la convergence des états associés. Nous obtenons une énergie de Hartree. La validité de ce résultat dépend de la vitesse de convergence de R qui ne doit pas décroître trop vite. La discussion autour de la taille des anyons sera centrale dans le manuscrit. L'outil principal dans l'obtention du modèle effectif est la version du théorème de de Finetti de Brandão et Harrow combiné à une localisation dans l'espace de Fock.Dans le cas quasi-fermionique le paramètre statistique tend vers un. Nous travaillons donc sur une perturbation du cas fermionique. Cette fois-ci nous introduisons la constante de Planck que nous prenons proportionnelle à 1/N^(1/2) pour nous trouver dans une limite semi-classique. Nous obtenons à la limite une énergie Thomas-Fermi. La validité de ces résultats est aussi tributaire d'une contrainte sur la taille des charges R. Nous utilisons les états cohérents et les fonctions de Husimi combinés au théorème de Diaconis-Freedman pour obtenir l'énergie effective. Le point central de la preuve est l'obtention d'un principe de Pauli quantitatif semi-classique.Dans les chapitres qui vont suivre nous commencerons par expliciter la notion d'anyon, nous énoncerons les résultats principaux, puis consacrerons le reste à leur preuve. Nous terminerons en suggérant quelques idées d'amélioration et de continuation de notre propos.This thesis is dedicated to the study of anyons gases in the limit of largenumber of particles. We derive effective models describing the ground state of the system and the associated minimizers.In two-dimensional space there are possibilities for quantum statisticscontinuously interpolating between the bosonic and the fermionic one. Quasi-particlesobeying such statistics can be described as ordinary bosons and fermions with magneticinteractions through long- range magnetic potential generated by magnetic charges carried by each particle, smeared over discs of radius R. More precisely we study the so calledalmost-bosonic ans almost-fermionic limit where anyons statistics tends respectively to abosonic and a fermionic one.In the bosonic case the statiscal parameter and the radius R converge to zero. We obtain a model called the "average field approximation model" which is a Hartree energy. The associated states are of the form of a convex combination of pure factorized states. We use the information theoretic version of the de Finettitheorem of Brandão and Harrow combined with a Fock-space localisation to justify this model wherethe particles behave like independent, identically distributed bosons interacting via a self-consistent magnetic field.In the almost-fermionic case we introduce a semi-classical parameter identified with the Planck constant which converges to zero. The statistical parameter converges to one. This way, the ground state energy of almost-fermionic anyons converges to the infimum of a Thomas-Fermi energy and its minimizers to measures associated with the corresponding semi-classical problem. More precisely, the ground state of our Hamiltonian converges to that of a classical modified Vlasov energy whose minimization leads to the Thomas-Fermi functional. The Vlasov energy is endowed with a self-consistent magnetic field which is the loudmark of the anyonic statistics. The ground state of the Vlasov energy displays anyonic behavior inits momentum distribution. The proof is based on coherent states, Husimi functions, theDiaconis-Freedman theorem and a quantitative version of a semi-classical Pauli pinciple.After describing the emergence of anyons from both the theoretical and the experimentalside we will state the main results and conclude the first part of this manuscript. Thesecond section will be dedicated to the almost-bosonic case and the third to the almostfermionic one. We shall conclude by suggesting some improvement and perspectives tothis work