Some Principal-Agent problems under societal constraints

Dans cette thèse, nous nous intéressons à quelques problèmes d’incitation sous contraintes sociétales. Nous utilisons pour cela le formalisme Principal-Agent et nous nous basons sur le modèle fondateur d’Hölmstrom-Milgrom. Dans un premier temps, nous regardons les problèmes d’information complète dans ce modèle et établissons un cadre alternatif, unifiant et à application large pour leur résolution. En plus de mettre en lumière une nouvelle signification de la règle de Borch en économie, cette approche étend l’interprétation de l’action optimale de l’Agent. Cette méthode est ensuite appliquée pour une partie d’un premier travail d’incitation où nous proposons d’analyser l’effet de la rémunération à la tâche, caractérisant les contrats dans la gig economy. La richesse du Principal est ici modélisée par un processus de Poisson dont l’Agent peut affecter l’intensité. Les contrats optimaux sont alors explicites, comportant une modification de la linéarité classique attendue sous information partielle dans ce modèle. Nous notons que malgré la richesse positive du Principal, la rémunération payée à l’Agent peut être négative soulignant l’enjeu de l’ajout de contraintes de positivité dans ces problèmes. C’est sur ce type de problème d’incitation sous contraintes que nous nous penchons alors dans un modèle discret. Nous établissons l’existence de solutions par approche variationnelle sous utilités assez générales. Ces solutions sont ensuite caractérisées par des méthodes du premier ordre permettant une analyse de l’effet des contraintes sur les contrats. Notamment nous obtenons des contreparties de forme optionnelle. Enfin, nous nous tournons vers un problème d’actualité : inciter sous risque d’arrêt de l’économie. Nous étendons pour cela le modèle d’Hölmstrom-Milgrom par l’ajout d’un processus de défaut et nous obtenons assez remarquablement une rémunération explicite, linéaire pour le temps de défaut. Nous étendons ensuite (simplement) ce modèle pour inclure une possibilité de continuité de service malgré l’arrêt, sous réserve d’un investissement suffisant par le Principal. Pour terminer cette thèse, nous prouvons un résultat nécessaire à ce dernier problème : l’existence et l’unicité de solutions pour une certaine équation différentielle stochastique rétrograde Brownienne avec défaut.In this thesis, we analyse several incentive problems under societal constraints. To this end we use the Principal-Agent formalism and base ourselves on the founding model of Hölmstrom and Milgrom. We first look at full information problems in this model and establish a alternative and unifying framework their resolution with broad application. As well as shining a new light on the meaning of the Borch rule in economy, this approach extends the interpretation of the Agent’s optimal action. This method is then applied in the full information part of a first incentive problem where we analyze the effet of task-based pay, characterizing contracts in the gig economy. The Principal’s wealth is modeled through a Poisson process of which the Agent can change the intensity. The optimal contracts are explicit, with a slight modification of the classical linearity expected under partial information in this model. We note that despite the Principal’s positive wealth, the Agent’s wage can be negative which underlines the stakes related to adding positivity constraints to such problems. We therefore then turn to such constrained incentive problems in a discrete model. We establish solution existence through a variational approach under relatively general utilities. These solutions are then characterized through first order methods, allowing some analysis of the effect of constraints on contracts. In particular, we obtain optional type wages. Finally, we turn to a problem related to current affairs : incentives under a risk of economic shutdown. To do so, we extend the Hölmstrom-Milgrom model by adding a default process and we obtain an explicit wage that is linear in the default time. This model is then extended to included a possibility of continued activity despite the shutdown, conditioned on sufficient investment from the Principal. We conclude this thesis with the proof of a necessary result for this last incentive problem : existence and uniqueness of solutions to a certain Brownian backward stochastic differential equation with default