Sommes fractales de pulses : étude dimensionnelle et multifractale des trajectoires et simulations

Multifractal analysis is the mathematical study of the irregularity of objects or irregular functions. The two main classes of processes where multifractal analysis was performed are multiplicative processes (Mandelbrot cascades and their generalizations) and additive processes (Lévy processes, random wavelet series and their generalization). An important additive process is the random sum of pulses. These series are random sums of translations and dilatations of pulses supplied by a pulse of arbitrary form. The translation, expansion and amplitude parameters can be random (or deterministically related). Special cases of this model were introduced by Lovejoy and Mandelbrot to model the precipitations at a given point and further extensions were proposed by Ciosek-Georges, Taqqu, Mandelbrot,...Finally, Y. Demichel, studied in his thesis some fractal aspects of the sample paths of such processes. Some basic properties of these processes have been studied by these authors (existence, continuity, integrability, graph dimension, global regularity of trajectories in the Besov or Sobolev sense). However, despite some existing mathematical works, many questions are still open. The purpose of the thesis will be to introduce a more general model than those that have been studied in the past, and perform their multifractal analysis (i.e. to determine the pointwise regularity of its trajectories). This can be taken in the sense of the usual Hölderian regularity when the sample paths are locally bounded, or otherwise in the sense of DOLLARpDOLLAR-exponent.The thesis concludes with an applied part: simulation of the path and the study of the multifractal formalism for the sums of random pulses. Finally, we will be particularly interested in the physiological data of marathon runners provided by V. Billat and his teams.Les deux grandes classes de processus dont l'analyse multifractale a été réalisée sont les processus multiplicatifs (issus des cascades de Mandelbrot) et les processus additifs (processus de Lévy, séries aléatoires d'ondelettes et leurs généralisations). Une classe importante de processus se rattache à cette seconde catégorie : les "sommes de pulses aléatoires". Il s'agit de séries aléatoires où l'on somme des translatées-dilatées d'un "pulse" qui peut avoir une forme arbitraire. Les paramètres de translation, dilatation et d'amplitude peuvent être aléatoires (ou certains peuvent être reliés entre eux de façondéterministe). Des cas particuliers de ce modèle ont été introduits par Lovejoy et Mandelbrot pour modéliser la pluviométrie en un point donné, puis des extensions ont été proposées par Ciosek-Georges, Taqqu, Mandelbrot, ...Enfin, Y. Demichel, dans sa thèse, a étudié des aspects fractals des trajectoires de tels processus. Certaines propriétés de base de ces processus ont été étudiées (existence, continuité, intégrabilité, dimension de graphe, régularité globale des trajectoires au sens Besov ou Sobolev); cependant, malgré quelques travaux mathématiques déjà existants, de nombreuses questions sont encore ouvertes. Le but de la thèse sera d'introduire un modèle plus général que ceux qui ont été abordés dans le passé, et d'en effectuer également l'analyse multifractale, c'est à dire déterminer la régularité ponctuelle presque sûre des trajectoires. Celle-ci pourra être prise au sens de la régularité hölderienne usuelle quand les trajectoires sont localement bornées, ou au sens de DOLLARpDOLLAR-exposant dans le cas contraire.La thèse se conclut par une partie appliquée : simulation des trajectoires et l'étude du formalisme multifractal pour les sommes de pulses aléatoires. Enfin, on s'intéressera en particulier de données physiologiques de coureurs marathoniens fournies par V. Billat et ses équipes