Contrôle optimal : méthodes géométriques et numériques et applications au modèle de Bloch, et intégrabilité des géodésiques sous-riemanniennes

The first part of the thesis relates to study the disruptive role of Coulomb energies during a population transfer in minimal time for a quantum system that corresponds to a Bloch model with interactions describing a quantum dot. After modeling of the dynamic systems at two, three or four energy levels one study the problem of minimal time optimal control for each system. Geometric and numerical methods recently developed on 2-dimensional manifolds based on the Pontraygin maximum principle allow to characterize bang-bang and singular extremal trajectories and to analyze the minimal transfer time according to the influence of Coulomb’s interaction parameters on a transition frequency. The second part of the thesis deals with integrability properties of geodesic equations on 4- dimensional sub-Riemannian homogeneous spaces. One characterizes the solutions of adjoint equations (optimal controls) which are elliptical and establishes the link with the symmetric spaces.La première partie de la thèse étudie l’influence des énergies de Coulomb sur le transfert de population en temps minimal pour un système quantique correspondant à un modèle de Bloch avec interaction décrivant une boîte quantique. Après la modélisation de la dynamique de systèmes à deux, trois ou quatre niveaux d’énergie, on étudie le problème de contrôle en temps minimal. Des méthodes géométriques et numériques récemment développées pour une variété de dimension 2, basées sur le principe de maximum de Pontraygin permettent de caractériser les extrémales bang-bang et singulières et d’analyser le temps de transfert minimal suivant l’influence des paramètres de Coulombsur la fréquence de transition. Dans la seconde partie de la thèse, on étudie les propriétés d’intégrabilité des équations géodésiques pour des espaces sous-riemanniens homogènes de dimension 4 et on caractérise les solutions (les contrôles optimaux) qui sont elliptiques, et on établit le lien avec les espaces symétrique